1.5. Поверхностный интеграл как предел последовательности интегральных сумм.

Пусть - некоторое дробление области , т.е., множества , измеримы, попарно не пересекаются и . Обозначим через график функции на множестве ; т.е., - та часть поверхности , проекцией которой на плос- кость является . Совокупность обозначим через и назовём дроблени- ем поверхности : = . Заметим: , попарно не пересекаются, и . В тех случаях, когда требуется различать стороны и , применяем обозна- чения = и = .

Пусть - нормальная последовательность дроблений области . Соответст- вующую последовательность назовём нормальной последовательностью дробле- ний поверхности .

Пусть и - скалярная и векторная функции, определённые в точках поверхности и непрерывные вдоль неё. Пусть = - некоторое дробление поверхности , а точка произвольно взята на . Обозначим:

, ν ( )) . Эти суммы назовем интегральными суммами по дроблению скалярной функции и векторной функции а . Справедливы утверждения ( см. [1] ): для любой нормальной последовательности дроблений поверхности

, dΣ .

§ 2. Поверхностные интегралы по кусочно - гладким поверхностям.

2.1. Кусочно – гладкая ориентируемая поверхность.

Пусть - функция, непрерывная в некоторой области трехмерного прост- ранства, а - геометрическое место точек , координаты которых удовлетворяют уравнению . Геометрическое место назовем поверхностью, а уравнение - уравнением этой поверхности.

Пример. Пусть , где . Уравнение есть уравнение сферы.

Геометрическое место может оказаться объектом весьма сложной структуры. Но поверхности, представляющие интерес для приложений, обычно не столь сложны. Как правило, в прикладных задачах рассматривают поверхности либо простые относительно той или иной координатной оси, либо такие, что их можно разбить на несколько частей, каждая из которых является поверхностью, простой относительно одной из координат- ных осей. В этом пункте рассматриваем поверхности именно такого типа.

Пусть поверхность разделена сетью кривых на частей . Будем записывать и будем считать выполненными следующие условия.

1. Каждая из частей представляет собой простую относительно одной из координатных осей и гладкую поверхность, т.е., является графиком функции функции , функции , непрерывной вместе со своими частными произ- водными первого порядка в некоторой ограниченной замкнутой области.

2. Край поверхности , есть кусочно-гладкий простой контур.

3. При поверхности и не имеют общих внутренних точек.

4. - связное множество.

Если эти условия соблюдены, будем называть поверхность кусочно- гладкой поверхностью.

Пусть - кусочно-гладкая поверхность, - край поверхности , . Пусть точка Р – краевая для какой-либо из поверхностей , т.е., . Возмож- ны два случая: 1) Р лежит только на одном из контуров и 2) Р является общей по крайней мере для двух из этих контуров. Множество всех точек, удовлетворяющих ус- ловию 1) обозначим через . Точку Р , , назовём краевой точкой кусочно -гладкой поверхности в двух случаях: 1) Р принадлежит только одному из контуров , т.е., , и 2) Р является предельной точкой множества .

Множество всех краевых точек поверхности назовём краем этой поверхности

Замечание. Пусть - ограниченная область, а её граница представляет собой кусочно – гладкую поверхность . Такая поверхность края не имеет, поскольку для неё множество пусто. В этом случае поверхность называют замкнутой. К замкнутым поверхностям принадлежат сфера, эллипсоид, параллелепидед, пирамида и т.п. Замкнутая поверхность разбивает пространство на две части – ограниченную (её называют внут- ренностью поверхности) и неограниченную( её называют внешностью поверхности).

Пусть - некоторая кусочно-гладкая поверхность При поверхности и не имеют общих внутренних точек, но общие граничные точки у них могут быть. Две поверхности и , , назовём соседними, если края этих поверхностей, конту- ры и , имеют общую часть, т.е., если существует некоторая дуга , принадлежащая и , и .

Пусть поверхности и , , являются соседними, а - дуга, принадлежа- щая и , и . Каждый из этих двух контуров можно ориентировать. Пусть и - ориентированные контуры. Так как дуга является частью , то она является ориен- тированной кривой – её ориентация индуцирована ориентацией всего контура. То же справедливо и для - его ориентация передаётся дуге . Будем говорить, что ориента- ции контуров и согласованы, если ориентация, полученная дугой от проти- воположна ориентации, полученной ею от . Заметим: если ориентации и согла- сованы, то согласованы и противоположные ориентации и

Поверхность назовем ориентируемой поверхностью, если можно согла- совать ориентации краёв всех пар соседних поверхностей в наборе . Пусть - ориентируемая кусочно - гладкая поверхность, - согласованная ориентация краёв, а - сторона поверхности , согласованная с ориентацией её края; здесь . Обозначим: , . и назовём сторо- нами ориентируемой кусочно-гладкой поверхности .