Поверхностные интегралы

§ 1. Поверхностные интегралы по простым гладким поверхностям.

1.1. Простая гладкая поверхность.

П усть В -область, границей которой является простой контур , и пусть функция непрерывна в замкнутой области . Обозначим через график этой функции, т.е. поверхность, уравнение которой (рис.1 ):

назовём поверхностью, простой относительно оси . Пусть точка принадлежит поверхно- сти . Тогда её проекция на плоскость ХОУ , точка , , принадлежит замкнутой об- ласти . назовём внутренней точкой поверхности , если принадлежит В, т.е., является внутренней точкой множества . назовём краевой точкой пове- рхности , если принадлежит , т.е. является граничной точкой множества .

Множество всех внутренних точек поверхности назовём внутренностью этой поверх- ности и обозначим через . Множество всех краевых точек поверхности назовём кра- ем этой поверхности и обозначим через .или через Г. Г является простым контуром, его проекция на плоскость ХОУ есть . Если

- параметрическое уравнение , то

, где - уравнение Г. При возрастании на точка ) совершает обход контура Г. Для наблюдателя, смотрящего с конца оси , этот обход совершается либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Ниже одну из этих двух ориентаций контура будем называть положительной и применять обозначение , а другую – отрицательной и применять обозначение .

Пусть точка принадлежит области В, а функция дифференцируе- ма в этой точке. Плоскость, уравнение которой

, где , является касательной плоскостью к поверхности в точке . Прямую, проходящую через перпендикулярно касательной плоскости называют нор- малью к поверхности в точке . Вектор перпендикуля- рен касательной плоскости, он является направляющим вектором нормали в точке .

Ниже считаем, что и её частные производные и непрерыв- ны в замкнутой области . В этом случае поверхность называют гладкой. Этот термин отражает следующее свойство такой поверхности: при малых перемещениях точки Р по поверхности положение нормали в этой точке меняется плавно, без скачков. Действитель -но, из непрерывности производных и и теоремы о достаточных условиях дифференцируемости вытекает дифференцируемость в области В ; значит, в каж- дой точке существует касательная плоскость. Введём обозначение:

ν(x,y) =

= Очевидно, орт ν(x,y) является направляющим вектором нормали к поверхности в точке , причём угол между ν(x,y) и ортом k оси острый. Вектор - функцию ν(x,y) будем называть непрерывной единичной нормалью поверхности . Непрерывность вектор-функции ν(x,y) обеспечивает плавность изменений положения нормали, о чём было сказано выше. Гладкой поверхностью является, например, полусфера . Обычно орт ν(x,y) будем откладывать от точки и обозначать его в таком случае через ν(Р).

Вектор-функцию - ν(x,y) = - ν(Р) также назовём непрерывной единичной норма- лью поверхности . Угол между ортами - ν(Р) и тупой.

С векторами ν(Р) и -ν(Р) связаны понятия верхняя и нижняя стороны поверхно- сти . Понятие “верхняя сторона поверхности ” складывается из этой поверхности и непрерывной единичной нормали ν(x,y): от каждой точки отложен орт ν(Р), обра- зующий с ортом острый угол. Наблюдатель, смотрящий на поверхность с конца оси , видит верхнюю её сторону, т.е., поверхность, “ощетинившуюся ” ортами нормали ν(Р),. Аналогично, понятие “ нижняя сторона поверхности ” состоит из этой поверхно- сти и вектор-функции - ν(x,y). В дальнейшем одну из сторон поверхности – верхнюю или нижнюю – будем обозначать через , тогда противоположную сторону обозначаем че- рез .

Ведем понятие о согласовании стороны поверхности и ориентации её края. Пусть - одна из сторон поверхности , а - одна из ориентаций её края. Будем говорить, что сторона и ориентация края согласованы, если наблюдатель, идущий по сторо- не вдоль края , оставляет поверхность слева от себя. Например, пусть для наблю- дателя, смотрящего с конца оси , контур ориентирован против часовой стрелки. Эта ориентация края согласована с верхней стороной поверхности .

Через обозначим площадь поверхности . Справедлива теорема, доказатель- ство которой имеется в [1].

Теорема. Пусть функция и её частные производные и непрерывны в замкнутой области , а - график этой функции. Тогда

.

Край поверхности, её внутренность, верхняя и нижняя стороны поверхности, согла- сование стороны поверхности и ориентации её края - эти понятия введены выше для по- верхности, простой относительно оси . Те же понятия аналогично вводятся и для по- верхностей, простых относительно других координатных осей, т.е., для поверхностей, за- данных уравнениями видов и .

1.2. Поверхностный интеграл I рода ( по площади).

Пусть - гладкая поверхность, уравнение которой , , а - функция, непрерывная вдоль (т.е., непрерывна на ).

Определение. Поверхностным интегралом I рода от функции по поверх- ности называют двойной интеграл

Обозначают введенный интеграл символом . Таким образом,

(1)

Перечислим основные свойства этого интеграла. Ниже и - функции, непрерывные вдоль , - вещественное число.

1. .

2. . Эти равенства непосредственно вытекают из сформулированного выше определения и свойств двойного интеграла.

3. = . . Здесь есть интеграл , подынтегральная функция которого тождест- венно на равна единице. Положив в (1) , получим (см. выше, Теорема):

= .

Определения и свойства поверхностных интегралов рода по поверхностям, задан- ным уравнениями или аналогичны изложенным выше. Например, если - график функции , а непрерывна вдоль , то

, где В – проекция на плоскость .

3. Поверхностный интеграл рода ( по координатам)

Пусть - гладкая поверхность, уравнение которой , , а ν(Р) – - орт нормали к в точке , образующий с ортом острый угол. Пусть - вектор-функция, непрерывная вдоль этой поверх- ности (т.е., её координатные функции непрерывны вдоль ). Зададим на функцию : для любой точки положим равной проекции вектора на орт ν(Р)

Определение 1. Поверхностным интегралом второго рода от вектор - функции по верхней стороне поверхности называют поверхностный интеграл первого рода по от проекции вектора на орт нормали ν(Р).

Определение 2. Поверхностным интегралом второго рода от вектор - функции по нижней стороне поверхности называют поверхностный интеграл первого рода по от проекции вектора на орт нормали -ν(Р).

Для поверхностей, простых относительно осей и , нетрудно сформулиро- вать аналогичные определения.

Пусть - гладкая поверхность, простая относительно одной из координатных осей. Одну из сторон этой поверхности – верхнюю или нижнюю – обозначим через , а противоположную сторону через . Орт нормали на стороне обозначим через ν , а на стороне - через ν . Направление орта ν назовём положительным направле- нием нормали, направление орта ν – отрицательным направлением нормали. Заме- тим: ν (Р) = - ν (Р). Пусть - вектор – функция, непрерывная вдоль . Сформулируем определение, обобщающее те, что приведёны выше.

Пусть - гладкая поверхность, простая относительно одной из координатных осей, а вектор-функция непрерывна вдоль .

Определение 3. Поверхностным интегралом второго рода от вектор - функции по стороне ( по стороне ) поверхности называют поверхностный интег- рал первого рода по от проекции вектора на положительное ( отрицательное) направление нормали в точке .

Поверхностный интеграл по стороне обозначать будем символами

и dΣ.. Заменив в этих символах на , получим обозначения для интеграла по стороне .

Проекция вектора на тот или иной орт равна скалярному произведению этих векторов; поэтому

dΣ ν ) , dΣ ν )

Перечислим основные свойства введённого интеграла. Ниже и - вектор – функции, непрерывные вдоль , - вещественное число.

1. Σ = dΣ.

2. Σ = dΣ + dΣ .

Эти равенства непосредственно вытекают из сформулированного выше определе- ния и свойств поверхностного интеграла рода.

3. dΣ = - dΣ .

► Так как ν (Р) = - ν (Р), то

dΣ ν ) = - ν ) = - ν ) - dΣ. ◄

Пусть есть верхняя сторона гладкой поверхности , простой относительно одной из координатных осей.. Выпишем формулы, выражающие поверхностный интеграл по через двойной интеграл по проекции этой поверхности на соответствующую коор- динатную плоскость..

. Если задана уравнением , а - проекция на плоскость , то

dΣ = .

. Если задана уравнением , а - проекция на плоскость , то

dΣ = .

. Если задана уравнением , а - проекция на плоскость , то

dΣ =

► Докажем формулу ; доказательства других двух аналогичны. По определению dΣ = ν ) , где

ν = ν( х,у) = .

Значит,

dΣ ν )

= ν( х,у)) =

= . ◄

. 1.4. Формула Стокса.

Пусть функции и непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по каждому из своих аргументов в некоторой об- ласти . Обозначим:

;

. Таким образом, в области определены два векторных поля : и ; поле называют ротором (вихрем) поля а. Равенство - это удобный для запоминания способ записать этот вектор.

Пусть - гладкая и простая относительно одной из координатных осей поверх- ность, а - проекция на координатную плоскость, перпендикулярную этой координат- ной оси. Будем считать областью, ограниченной простым кусочно-гладким контуром. Булем также считать, что содержится в области , в которой определены поля и .

Теорема. Пусть поверхность и вектор-функция удовлетворяют указан- ным выше условиям. Тогда dΣ , где - одна из сторон поверхности , а Г - край , ориентация которого согласована со стороной .

► Доказательство приведём для случая, когда - простая относительно оси поверхность, а - верхняя её сторона.

Пусть В – область в плоскости , границей В является простой кусочно-гладкий кон- тур , заданный параметрическим уравнением . Функция , а также её частные производные и непрерывны в замкнутой области .

Введем в рассмотрение три вектор-функции:

. . Очевидно, . Кроме того, нетрудно убедиться в справедливости равенства . Докажем три равенства:

dΣ , dΣ, dΣ. (2)

Так как - верхняя сторона поверхности , то согласованная с ней ориентация Г её края - против часовой стрелки. Будем считать, что уравнение ориентирует контур против часовой стрелки. Тогда уравнение

, где есть уравнение Г . Докажем первое из равенств (2). По формуле I, п. !.3., имеем: . Обозначим: . Тогда (см. глава “Криволинейные интегралы”, п. 3.2., свойство 4, формула 7)): . Положим на множестве . По формуле Грина . Таким образом, - (3)

С другой стороны (см. (3), а также формулу I, п. 1.3),

dΣ = =

= - . (4)

Из (3) и (4) следует: dΣ.

Доказательство второго из равенств (2) проводится аналогично.

. Обозначим: . Тогда (см. глава “Криволинейные интегралы”, п. 3.2., свойство 4, формула 7)): . Положим на множестве . По формуле Грина . Таким образом, (5)

С другой стороны (см. (3), а также формулу I, п. 1.3),

dΣ = =

= . (6)

Из (5) и (6) следует: dΣ.

Докажем третье из равенств (2). С целью упростить доказательство наложим на функцию дополнительное требование: в существуют и непрерывны смешанные производные и . По теореме о равенстве смешанных производных = в В. Напомним: .

= .

Пусть . Тогда

=

=

По формуле Грина

=

= = = = = = = =

Таким образом, . С другой стороны,

dΣ=

dΣ = .= = .

Значит, справедливо и третье из равенств (2). Сложив эти три равенства почленно, полу- чим формулу Стокса для случая, когда - простая относительно оси поверхность, а - верхняя её сторона. Для других могущих иметь место случаев доказательства можно построить аналогично изложенному выше. ◄