Расчет характеристик и спектра сигналов с частотной модуляцией

Цель работы – изучить сигналы с частотной модуляцией, параметры сигналов, временное и спектральное представление сигналов ЧМ.

Теоретические сведения

При частотной модуляции по закону модулирующего колебания U(t) изменяется частота высокочастотного несущего колебания.

На рис.3.1 показаны графики модулирующего и модулированного сигналов в случае модуляции чистым тоном. Получим аналитическое выражение для ЧМ колебания. При модуляции чистым тоном

Рисунок 3.1 – Сигнал ЧМ

, (3.1)

где - максимальное отклонение, называемое девиацией частоты, а - относительное изменение частоты. Пo своему определению мгновенная круговая частота является производной по време­ни от аргумента тригонометрической функции cosψ(t), представляю­щей колебание, т.е.

. (3.2)

Из последнего выражения получим

, (3.3)

т.е. полная фаза колебания определяется интегралом от круговой частоты. По­этому для ЧМ колебания при модуляции чистым тоном можно запи­сать

(3.4)

Замечаем, что изменение частоты по закону приводит к изменению фазы по закону . Величина называется индексом частотной модуляции и имеет смысл максимальной величи­ны (амплитуды) изменения фазы при частотной модуляции.

Заменяя косинус суммы двух углов по известным формулам тригонометрии, вместо (3.4) при = 0 получим

(3.5)

Определим теперь спектр частотно-модулированного сигнала. Начнем со случая малого индекса модуляции, когда β <<1. В этом случае

(3.6)

S(t)=A₀cosωt + 0,5βA₀cos(ω0 + Ω)t – 0,5βA₀cos(ω0 – Ω)t (3.7)

Замечаем, что при малом индексе модуляции спектр ЧМ колебания отличается от спектра AM-колебания только сдвигом фазы нижней боковой частоты на 180⁰.

Определим теперь спектр ЧМ - колебания при произвольном индексе модуляции. Для этого периодические функции и разложим в ряды Фурье, коэффициенты которых, как доказывается в теории бесселевых функций, являются функциями Бесселя первого рода:

(3.8)

sin(βsinΩt) = 2∑ J(2k-1)(β)sin(2k-1)Ωt. (3.9)

Аналогично можно записать и такие равенства

sin(βcosΩt) = 2∑(-1)^k+1 J(2k-1)(β)sin(2k-1)Ωt,

cos(βcosΩt) = J0(β)+ 2∑(-1)^k J2k(β)sin2kΩt,

где k=1,2,3.........

Подставляя выражения (2.8) и (2.9) в (2.5) и производя тригонометрические

преобразования, окончательно получим

(3.10)

Таким образом, ЧМ колебание при модуляции чистым тоном имеет дискретный спектр и состоит из несущей и бесконечного числа боковых частот ω0 + kΩ и ω0 – kΩ с амплитудами A0Jk(β). Однако практическая ширина спектра при ЧМ ограничена. Это можно заметить на рис.3.2, на котором приведены графики функций Jk(β). При β>>1 и k > β функции Jk(β) убывают так быстро, что ими можно пренебречь, т.е. считать, что Jk(β)=0. Поэтому ширина спектра при широкополосной ЧМ (β >>1) будет равна

П = 2( β +1)Ω ≈ 2βΩ ≈ 2Δω, (3.11)

т.е приближенно равна удвоенной девиации частоты.. Таким образом, ширина спектра при широкополосной ЧМ в β +1 раз шире, чем при обычной АМ.

Рисунок 3.2 – Графики функций Бесселя

Лабораторное задание

По заданному выражению модулирующего сигнала (приложение 3), его параметрам и несущему колебанию записать спектральное представление ЧМ сигнала и рассчитать следующие параметры:

- амплитуды, фазы и частоты спектральных составляющих, ширину спектра;

- мощность спектральных составляющих ЧМ сигнала;

- построить амплитудную и фазовую спектральные диаграммы;

- построить осциллограмму ЧМ сигнала.

Все результаты представить в графической форме.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение понятию “модуляция”.

2. Запишите в общем виде уравнение ЧМ колебания и дайте определение параметрам этого колебания.

3. Запишите уравнение ЧМ колебания при однотональном модулирующем сигнале.

4. Нарисуйте спектр ЧМ колебания при малом индексе модуляции, определите его ширину.

5. Нарисуйте спектр широкополосного ЧМ колебания и определите его ширину.

6. Запишите формулы мощности составляющих ЧМ колебания.

7. Объяснить результаты графических построений и выполненных расчетов.

Лабораторная работа №4

Расчет характеристик и спектра сигналов с цифровой модуляцией

Теоретические сведения

Модуляция переносчика дискретными (цифровыми) сигналами (рис.4.1) называется манипуляцией или цифровой модуляцией. По­лучаемые при этом сигналы обозначают как АМ-2 (ASK), ЧМ-2 (FSK), ФМ-2 (PSK) соответственно.

1011 0 0 11100

Рисунок 4. 1 – Дискретный модулирующий сигнал

Рассмотрим спектры манипулированных сигналов. При амплитудной манипуляции периодической последовательностью прямоугольных им­пульсов

со скважностью Q = = 2, где Т-длительность радиоимпульса, можно получить следующую формулу

(4.1)

Рисунок 4.2 – Амплитудно-манипулированное колебание и его спектр

Амплитудно-манипулированное АМ-2 колебание (рис.4.2а) при этом

записы­вается в виде:

(4.2)

Амплитудный спектр периодического АМн-сигнала показан на рис.4.2б.

При частотной манипуляции (рис.4.3) модулированный сигнал представляет собой последовательность радиоимпульсов с двумя час­тотами заполнения: и . Следовательно, ЧМн сигнал можно рас­сматривать как сумму двух АМн сигналов с

разными несущими часто­тами, которые называют частотами "нажатия " и отжатия", "посылки" и "паузы". Разность частот или называют разносом частот (удвоенная девиация частоты при ЧМн).

Рисунок 4.3 Частотно-манипулированное колебание

На рис.(4.4) показаны спектры двух радиоимпульсов при раз­ных значениях разноса частот.

Рисунок 4.4 – Спектры ЧМн сигналов при разных разносах частот

Величина Бод (с^-1) определяет скорость (частоту) передачи двоичных символов и называ­ется бодовой скоростью или скоростью телеграфирования.

Величина разноса частот при ЧМ-2 может быть различной. При пе­редаче дискрет- ной информации по радиоканалам величина разноса вы­бирается равной

.

В проводных и кабельных системах частота разноса частот выби­рается достаточно малой.