36

Министерство образования и науки, молодёжи и спорта Украины

Запорожский национальный технический университет

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторным работам по дисциплине

« Теория электрической связи »

для студентов специальности 6.050903

“Телекоммуникации”

2011

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине “Теория электрической связи”. Для студентов специальности 6.050903 “Телекоммуникации” / Сост. В.П.Бондарев – Запорожье: ЗНТУ, 2011

Составитель: доц., к.ф. – м.н. В.П.Бондарев

Ответственный за выпуск: доц., к.ф.м. – н. В.П.Бондарев

Утверждено на заседании кафедры

“Радиотехники и телекоммуникаций”

Протокол № от 26 06. 11

Рецензент: доц., к.т.н. Б.Н.Бондарев

Лабораторная работа №1

Анализ и расчет параметров периодических сигналов

Цель работы – изучить периодические сигналы их параметры, временное и спектральное представление таких сигналов.

Теоретические сведения

Сигнал называется периодическим, если он удовлетворяет усло­вию:

(1.1)

на интервале -∞≤ t ≤∞, где Т - постоянная величина, называемая периодом, а k - любое целое число.

Непериодическим называется сигнал, который не удовлетворяет условию (1.1) на всей оси времени. Он задается на конечном (t₁≤t≤t₂) интервале или полубесконечном (t₁≤ t <∞) интервале времени, а за пределами этого интервала сигнал принимается тождественно равным ну­лю. Непериодический сигнал можно рассматривать как периодический, но с бесконечно большим периодом. Одной из характеристик неперио­дического сигнала является его длительность, под которой понимают либо длительность, соответствующую всему сообщению или отрезку сообщения, либо длительность отдельного элемента (например, эле­мента кодовой комбинации).

Почти периодическим сигналом называется такой, для которого период можно указать лишь приближенно. Такими сигналами являют­ся, например, сигналы, которые могут быть представлены в виде суммы гармонических составляющих с произвольными (некратными) частота­ми.

В теории сигналов, радиотехнике и электросвязи широко используется спектральное представление сигналов по Фурье. Спектральным представлением детерминированного сигнала S(t) называется его представление в виде суммы конечного или бесконечного числа гармониче­ских составляющих. Основой спектрального представления сигналов является преобразование Фурье. Рассмотрим сначала спектральное представление немодулированных сигналов.

Как известно из математики, любую периодическую функцию с периодом Т, удовлетворяющую условиям Дирихле, можно представить в виде ряда Фурье:

(1.2)

где а коэффициенты, а_к и в_к определяются по формулам:

(1.3)

Величина

(1.4)

определяет среднее значение сигнала за период и называется постоянной составляющей. Частота называется основной частотой сигнала или первой гармоникой, а кратные ей частоты F_k=kF - высшими гармониками.

Выражение (1.2) можно переписать следующим образом:

(1.5)

где (1.6)

Обратные зависимости для коэффициентов а_k и в_k имеют вид:

(1.7)

При форме записи (1.5) коэффициент С_k выражает амплитуду, а φ_k – фазу к-ой гармоники. Совокупность коэффициентов С_k носит название спектра амплитуд, а совокупность значений φ_k - спектра фаз. На рис 1.1 приведен график спектра амплитуд периодического сигнала. Аналогичный вид имеет и спектр фаз. Спектр периодической функций называется линейчатым или дискретным, так как состоит из отдельных пиний, соответствующих частотам 0, Ω, 2Ω, …

:

Рисунок 1.1 - Спектр периодической функции

Комплексная или показательная форма ряда Фурье имеет вид:

(1.8)

где коэффициенты называются комплексными ампли­тудами гармоник и связаны с коэффициентами С_к и φ_k, а также а_к и в_k соотношениями:

(1.9)

На основании выражений (1.9) и (1.3) можно также записать:

(1.10)

Сравнивая (1.5) и (1.10), замечаем, что при использовании ком­плексной записи ряда Фурье отрицательные значения k позволяют го­ворить о составляющих с "отрицательными" частотами. Однако появ­ление отрицательных частот имеет формальный характер и связано с использованием комплексной формы записи для представления действительного сигнала. В самом деле, гармонической составляющей с "фи­зической" частотой Ω_K= kΩ в выражении (1.10) соответствует следую­щая пара слагаемых:

Эта пара слагаемых, вследствие четности модуля и нечет­ности фазы, дает в сумме вещественную гармоническую функцию с положительной частотой:

(1.11 )

Из-за удвоения числа составляющих при использовании показа­тельной формы записи ряда Фурье амплитуды их в 2 раза уменьшают­ся. Использование такой записи в значительной степени упрощает ма­тематические выкладки при исследовании прохождения сигналов через различные линейные системы.

Средняя за период мощность периодического сигнала:

(1.12)

Это выражение носит название равенства Парсеваля, которое пока­зывает, что средняя мощность сигнала равна сумме средних мощностей его частотных составляющих и не зависит от фазовых соотношений между отдельными составляющими.

Отметим, что представление сигналов в виде ряда Фурье весьма удобно при исследовании прохождения сигналов через различные ли­нейные цепи. Ряд Фурье из всех возможных ортогональных разложе­ний обеспечивает наименьшую погрешность представления при задан­ном числе членов разложения N. Однако ряд Фурье неудобен с реали­зационной точки зрения, так как операции гармонического анализа, а тем более синтеза технически осуществить довольно трудно.

Лабораторное задание

По заданной длительности, периоду и форме импульса (приложение 1) построить график и рассчитать следующие параметры:

- частоты и амплитуды гармоник ряда Фурье аn, bn и сn для значений n =0…5 и представить их в виде таблиц, содержащих частоты гармоник и соответствующие им амплитуды;

• построить спектральную амплитудную и фазовую диаграммы;

• объяснить результаты графических построений и выполненных расчетов.

Все результаты представить в графической форме.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение понятий сигнала и формы его представления.

2. Дайте определение понятий периодического, непериодического и почти периодического сигналов.

3. Запишите в общем виде ряд Фурье и выражения, определяющие его коэффициенты.

4. Запишите в ряд Фурье в комплексной форме и выражение, определяющее его коэффициенты.

5. Запишите частотное представление детерминированного сигнала.

6. Запишите выражение мощности периодического сигнала.

7. Нарисуйте в общем виде спектральные диаграммы периодического сигнала.

8. Объяснить результаты графических построений и выполненных расчетов.

Лабораторная работа №2

Расчет характеристик и параметров сигналов с амплитудной

модуляцией

Цель работы – изучить сигналы с амплитудной модуляцией, параметры сигналов, временное и спектральное представление сигналов АМ.

Теоретические сведения

Модуляция заключается в изменении одного или нескольких пара­метров переносчика в соответствии с передаваемым сообщением. При использовании в качестве переносчика высокочастотного гармониче­ского колебания модулированный сигнал в общем случае можно пред­ставить в виде:

.

В зависимости от того, какой из параметров А, ω или φ модулиру­ется, различают три вида модуляции: амплитудную (AM), частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ). Всякое модулированное колебание несинусои­дальное и имеет сложный спектр.

При амплитудной модуляции по закону управляющего сигнала А(t) изменяется амплитуда колебаний:

, (2.1)

где ΔА – максимальное абсолютное изменение амплитуды;

- относительное изменение амплитуды, называемое коэффициентом модуляции.

Уравнение АМ колебания имеет следующий вид:

, (2.2) Для случая модуляции чистым тоном А(t)=cosΩt АМ колебание имеет вид, показанный на рис.2.1. Очевидно, чтобы не было искажений, коэффици­ент модуляции должен быть меньше единицы. Из графика AM колеба­ний видно, что:

Аmin = А0 (1 – М ),

Амах = А0(1 + М).

откуда имеем:

. (2.3)

Рисунок 1.1 – Временное представление АМ сигнала

Определим спектр AM колебаний при модуляции чистым тоном. Это можно сделать с помощью преобразования Фурье. Однако проще его получить с помощью

простых тригонометрических преобразова­ний. Действительно, полагая в (2.2)

А(t)=cosΩt, получим:

(2.4)

Замечаем, что AM колебание имеет дискретный спектр и со­стоит из трех некратных гармонических составляющих: колеба­ния несущей частоты с амплитудой А₀ и двух колебаний с амплитудами и частотами , которые называются боковыми частотами. Ширина спектра АМ сигнала равна П=2Ω. Спектр AM колебания показан на рис. 2.2.

Рисунок 2.2 – Спектр АМ колебания

В общем случае, когда модуляция осуществляется сложным периодическим сигналом, последний можно разложить в ряд Фурье:

(2.5)

а выражение для АМ колебания представить в виде:

(2.6.)

В этом случае AM колебание состоит из колебания несущей часто­ты и двух боковых полос с суммарными и разностными частотами. Выражение (2.6) является спектральным представлением сигнала. Спектр такого колебания показан на рис.2.3. Если спектр модулирующего колебания ограничен сверху частотой , то ширина спектра модулированного колебания равна .

Рисунок 2.3 – Спектр АМ сигнала при сложном модулирующем сигнале

Заметим, что огибающая амплитуд боковых частот с точностью до постоянного множителя совпадает с огибающей спектра ампли­туд модулирующей функции. Это позволяет легко построить ампли­тудный спектр AM колебания, если известен спектр модулирующей функции. Для построения необходимо сместить спектр модулирующей функции по оси частот на величину , получая при этом верхнюю бо­ковую полосу; нижняя боковая полоса будет являться зеркальным ото­бражением верхней относительно частоты .

При амплитудной модуляции гармонической несущей произволь­ным непериодическим сигналом с полосой частот от до спектр будет содержать составляющую несущей частоты и две боковые поло­сы.

Р ассмотрим энергетические соотношения при AM. В соответствии с изменением амплитуды колебания изменяется и средняя за период высокой частоты мощность модулированного колебания.

Мощность сигнала в отсутствии модуляции (мощность несущего колебания) определяется первым членом выражения (3.4) и равна

, (2.7)

где - период высокочастотного колебания.

В режиме модуляции мощность непрерывно изменяется. Ее максимальное и минимальное значения определяются выражениями:

, . (2.8.)

Мощность двух боковых частот (при модуляции чистым тоном) и будет равна

. (2.9)

Средняя за период модуляции мощность будет равна

(2 .10)

где - период модулирующего колебания.

Из последних выражений при М = 1 получим

, , , ,

Лабораторное задание

По заданному выражению модулирующего сигнала (приложение 2), его параметрам и несущему колебанию записать спектральное представление АМ сигнала и рассчитать следующие параметры:

- амплитуды, фазы и частоты спектральных составляющих, ширину спектра;

- мощность спектральных составляющих АМ колебания;

- построить амплитудную и фазовую спектральные диаграммы;

- построить осциллограмму АМ колебания.

Все результаты представить в графической форме.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение понятию “модуляция”.

2. Запишите в общем виде уравнение АМ колебания и дайте определение параметрам этого колебания.

3. Запишите уравнение АМ колебания при однотональном модулирующем сигнале.

4. Нарисуйте спектр АМ колебания и укажите его ширину.

5. Нарисуйте спектр АМ колебания при сложном модулирующем сигнале и укажите его ширину.

6. Запишите формулы мощности составляющих АМ колебания.

7. Объяснить результаты графических построений и выполненных расчетов.

Лабораторная работа №3