Лекция № _7_

Тема: ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ

И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ_

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Внутренние уравнения линии на поверхности.

2. Длина линии на поверхности.

3. Угол между линиями на поверхности.

4. Площадь поверхности.

Краткое содержание лекционного материала

1. Первая квадратичная форма поверхности

Определение. Первой квадратичной формой I поверхности, заданной векторным уравнением , называется скалярный квадрат дифференциала первого порядка радиус-вектора , т. е. дифференциальная квадратичная форма

где

являются функциями от криволинейных координат и .

Первая квадратичная форма поверхности есть форма положительная при всех значениях , (кроме ). Она служит для измерения длин кривых, углов между кривыми и площадей на поверхности.

2. Длина кривой на поверхности

Длина дуги кривой на поверхности вычисляется по формуле

3. Угол между кривыми на поверхности

Определение. Углом между кривыми и , проведенными по поверхности и пересекающимися в точке , называется угол между касательными в точке к кривым и .

Пусть из точки выходят две кривые и , заданные соответственно внутренними уравнениями:

и

Формула для вычисления косинуса угла между кривыми: и :

где , дифференциалы криволинейных координат, отвечающие бесконечно малому смещению по одной кривой, и через , —то же самое для другой кривой.

Угол между координатными линиями находится по формуле

Определение. Координатная сеть на поверхности называется ортогональной, если в каждой точке поверхности угол между координатными линиями равен .

Координатная сеть является ортогональной тогда и только тогда, когда выполняется условие

4. Площадь поверхности

Площадь области на поверхности вычисляется по формуле

Лекция № _8_.

Тема: ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ. ___________пОЛНАЯ И СРЕДНЯЯ КРИВИЗНЫ.______

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Кривизна линии на поверхности.

2. Вторая квадратичная форма поверхности.

3. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна.

4. Поверхности постоянной кривизны.

Краткое содержание лекционного материала

1. Вторая квадратичная форма поверхности

Обозначение:

— единичный вектор нормали к поверхности.

Определение. Второй квадратичной формой II поверхности называется выражение

полученное в результате скалярного умножения единичного вектора нормали на дифференциал второго порядка радиус-функции .

Коэффициенты , , второй квадратичной формы.

2. Нормальная кривизна поверхности

Регулярная поверхность задана параметрическим уравнением .

Определение. Нормальной кривизной в данной точке и в данном направлении называется отношение второй квадратичной формы к первой квадратичной форме, т. е.

Здесь коэффициенты квадратичных форм берутся в данной точке .

Теорема 1. Нормальная кривизна кривой в точке поверхности в направлении равна с точностью до знака кривизне нормального сечения, проведенного в той же точке и в том же направлении .

Теорема 2 (Менье). Нормальная кривизна поверхности в данной точке и в данном направлении равна кривизне произвольной кривой, проходящей через эту точку и имеющей в ней данное направление, умноженной на косинус угла между главной нормалью кривой и нормалью к поверхности, т. е.

Следствие 1. Все кривые на поверхности, имеющие в данной точке общую касательную (общее направление) и общую соприкасающуюся плоскость (главную нормаль), имеют в этой точке и общую кривизну.

Определение. Величина, обратная кривизне кривой, называется радиусом кривизны.

Следствие 2 (другая формулировка теоремы Менье).

где ,