Лекция № _5_.

Тема: ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ _____________

(продолжение)

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Кривизна и кручение кривой.

2. Формулы Френе.

3. Понятие о натуральных уравнениях кривой.

Краткое содержание лекционного материала

7. Кривизна кривой

Определение. Пусть кривая задана уравнением , где — натуральный параметр, и вектор — единичный вектор касательной к кривой в точке . Кривизной кривой в точке называется , где — угол между касательными векторами и .

По определению кривизна

Теорема 1. Регулярная кривая , дважды непрерывно дифференцируемая, в каждой своей точке имеет кривизну , при этом, если — естественная параметризация кривой, то

Теорема 2. Для того, чтобы кривая была прямой, необходимо и достаточно, чтобы ее кривизна во всех точках была равна нулю.

Формулы для вычисления кривизны .

1. — естественная параметризация кривой.

где — единичный вектор главной нормали.

2. — любая параметризация кривой.

8. Кручение кривой

Определение. Пусть кривая задана векторным уравнением , где — натуральный параметр. Абсолютным кручением, обозначаемым , кривой в точке называется , где — угол между единичными векторами и бинормалей соответственно в достаточно близких точках и .

Итак, по определению

Теорема 1. Регулярная кривая , (трижды непрерывно дифференцируемая), имеет в каждой своей точке абсолютное кручение , при этом

где через - обозначен множитель при , при этом, так как , то .

Определение. Кручением кривой называется абсолютное кручение , взятое со знаком "+", если вращение соприкасающейся плоскости происходит в направлении от к , и со знаком " ", если вращение происходит в направлении от к .

Теорема 2. Для того, чтобы кривая была плоской, необходимо и достаточно, чтобы ее кручение во всех точках было равно нулю.

Формулы для вычисления кручения кривой.

1. — естественная параметризация кривой .

2. — произвольная параметризация кривой .

9. Формулы Френе. Понятие о натуральных уравнениях кривой

Систему формул

называют формулами Френе.

Уравнения

называются натуральными уравнениями кривой. Натуральные уравнения определяют кривую с точностью до положения в пространстве.

Лекция № _6_.

Тема: ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ__

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Топологическое определение поверхности в пространстве. Параметризация. Гладкие поверхности.

2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Краткое содержание лекционного материала

2. Топологическое определение поверхности. Параметризация.

Определение 1. Множество точек на плоскости называется элементарной областью, если оно является образом открытого круга при топологическом отображении его в пространство.

Внутренность квадрата, прямоугольника, эллипса, простого многоугольника является элементарной областью.

Определение 2. Элементарной поверхностью называется множество точек пространства, гомеоморфное элементарной области.

Параметрические уравнения поверхности

Векторное уравнение поверхности:

( — радиус-вектор точки )

Если поверхность задана уравнениями (1) или (2), говорят, что она задана параметрически: и называют криволинейными координатами точки поверхности.

Определение 3. Простой поверхностью называется связное множество точек пространства, каждая точка которого имеет окрестность на этом множестве, гомеоморфную элементарной поверхности.

Определение 4. Общей поверхностью называется образ простой поверхности при локально топологическом отображении ее в пространство.

Каждая точка общей поверхности имеет окрестность, являющуюся элементарной поверхностью.

Гладкие поверхности. Различные уравнения поверхности.

Определение 1. Поверхность называется регулярной класса , если у каждой точки этой поверхности есть окрестность, допускающая регулярную параметризацию, т. е. задание параметрическими уравнениями

где функции являются регулярными функциями класса C ( раз непрерывно дифференцируемыми).

Теорема. Если ,y(u,v), z(u,v) –регулярные функции в области G, удовлетворяющие условию, что ранг матрицы

всюду в равен двум, то система равенств

задает некоторую поверхность . Эта поверхность есть образ простой поверхности при локально топологическом отображении, которое точке области ставит в соответствие точку пространства с координатами ,y(u,v) z(u,v)

Обозначения:

y z

y z

Геометрически условие, о котором говорится в теореме, означает, что векторы и не коллинеарны: (5)

(9) называется явным уравнением поверхности. .

Соблюдение в данной точке поверхности условия означает, что эта точка поверхности является обыкновенной и вблизи этой точки уравнение поверхности может быть записано в явном виде.

Чтобы обратно от явного уравнения поверхности перейти к параметрическим уравнениям, надо принять в качестве параметров переменные и , т. е. положить в уравнении (9): , . Тогда получим параметрические уравнения

Уравнение , где функция является регулярной класса , называется неявным уравнением поверхности.

Касательная плоскость и нормаль поверхности

Внутренние уравнения кривой на поверхности.

Определение. Уравнения

называются внутренними уравнениями кривой .

Исключив из уравнений (3) параметр , получим внутреннее уравнение кривой в явном виде:

Определение. Множество точек поверхности, у которых одна из криволинейных координат или имеет одно и то же для всех точек постоянное значение, называется координатной линией.

Если поверхность регулярная, то координатные линии являются регулярными кривыми. Их внутренние уравнения имеют вид:

)

Касательная плоскость поверхности

Теорема 1. Касательные к регулярным кривым, проведенным на регулярной поверхности , заданной векторным уравнением (1), через данную на ней точку , лежат в плоскости, проходящей через эту точку и параллельной векторам и .

Определение. Касательной плоскостью к поверхности , заданной уравнением (1), в данной точке называется плоскость, проходящая через эту точку и параллельная векторам , ; точка называется точкой касания.

Уравнение касательной плоскости поверхности, заданной параметрическими уравнениями:

— уравнение касательной плоскости.

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной неявным уравнением , в точке имеет вид

где — любая точка касательной плоскости.

Нормаль поверхности.

Определение. Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно к касательной плоскости в этой точке.

Если поверхность задана векторным уравнением , то уравнение нормали имеет вид:

Если поверхность задана неявным уравнением , то ее уравнение имеет вид:

где — любая точка нормали.