По определению

,

значит α_i ≤ a_ij ≤ β_j или α_i ≤ β_j.

Это неравенство справедливо при любых комбинациях i и j. Будет оно справедливо для тех i и j, для которых и , и при этих i и j получим α ≤ β.

Если в матричной игре нижняя и верхняя чистые цены игры совпадают, т.е. α = β, то это игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры .

Обозначим через i_* и j_* номера чистых стратегий, при которых имеет место равенство α = β. Пару чистых стратегий игроков А и В, при которых достигается равенство α = β, называют седловой точкой матричной игры, а элемент a_i*j* матрицы, стоящий на пересечении i_* строки и j_* столбца, – седловым элементом платежной матрицы.

Седловой элемент является наименьшим в i_* строке и наибольшим в j_* столбце, т.е. . Поэтому, если игрок В отклонится от своей минимальной стратегии, то его проигрыш может увеличиться. Аналогично, отклонение игрока А от своей максимальной стратегии ведет к уменьшению его выигрыша. Таким образом, минимальные стратегии в игре с седловой точкой обладают свойством устойчивости, создают ситуацию равновесия. Следовательно, если в матрице игры существует седловой элемент, то наилучшими для игроков являются их минимальные стратегии. Назовем чистые стратегии и , образующие седловой элемент, оптимальными чистыми стратегиями соответственно игроков А и В. Набор назовем решением игры.

Пример. Швейное предприятие планирует к массовому выпуску новую модель одежды. Спрос на эту модель не может быть точно определен. Предполагают, что его величина характеризуется тремя возможными состояниями (I, II, III). С учетом этих состояний анализируется три возможных варианта выпуска данной модели (А₁, А₂, А₃). Каждый из этих вариантов требует своих затрат и обеспечивает различный эффект. Прибыль (тыс. руб.), которую получает предприятие при данном объеме выпуска модели и соответствующем состоянии спроса, определяется матрицей

	I	II	III
A1	22	22	22
A2	21	23	23
A3	20	21	24

Найти объем выпуска модели одежды обеспечивающий среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса.

Решение. Проверим, имеет ли исходная матрица седловую точку.

.

Число 22 – цена игры. Игра имеет седловую точку, соответствующую варианту А₁ выпуска модели одежды. Объем выпуска модели, соответствующий данному варианту, обеспечивает прибыль в 22 тыс. руб. при любом состоянии спроса.

1.3. Упрощение игр

Если платежная матрица игры не содержит седловой точки, то задача определения оптимальной смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Для игр с платежными матрицами большой размерности отыскание решения можно упростить, если уменьшить их размерность, вычеркивая дублирующие и заведомо невыгодные стратегии.

Если в матрице (a_ij)_m×n игры все элементы строки (столбца) равны соответствующим элементам другой строки (столбца), то соответствующие строкам (столбцам) стратегии называются дублирующими.

Если в матрице (a_ij)_m×n игры все элементы некоторой строки, определяющей i-ю стратегию А_i игрока А, не больше (меньше или равны) соответствующих элементов другой строки, то i-я стратегия А_i называется заведомо невыгодной.

Если в матрице (a_ij)_m×n игры все элементы некоторого столбца, определяющего j-ю стратегию В_j игрока В, не меньше (больше или равны) соответствующих элементов другого столбца, то j-я стратегия В_j называется заведомо невыгодной.

Рассмотрим платежную матрицу игры:

B1 B2 B3 В4 В5 αi A1 8 6 4 5 1 1 A2 5 4 3 2 3 2 A3 6 7 6 3 5 3 A4 3 3 2 1 2 1 βj 8 7 6 5 5

α = 3 ≠ β = 5. Платежная матрица игры не имеет седловой точки.

Сравнивая почленно элементы второй и третьей строк, видим, что все элементы второй строки меньше соответствующих элементов третьей строки. Следовательно, вторая стратегия для игрока А заведомо невыгодна и ее можно исключить. Аналогично, сравнивая А₃ и А₄, исключаем А₄. Получаем матрицу игры:

	B1	B2	B3	В4	В5
A1	8	6	4	5	1
A3	6	7	6	3	5

Замечаем, что 1, 2, 3 стратегии игрока В заведомо невыгодны по сравнению с 5-й стратегией, поскольку игрок В стремится уменьшить выигрыш игрока А. Исключая эти стратегии, получаем матрицу 2×2, в которой нет дублирующих и заведомо невыгодных стратегий.

	В4	В5
A1	5	1
A3	3	5

Перенумеруем стратегии, запишем платежную матрицу:

В1 В2 αi A1 5 1 1 A2 3 5 3 βj 5 5

α = 3, β = 5.

Если для упрощенной матрицы α = β, то число α = β = v есть цена игры не только с упрощенной, но и со сходной матрицей. Если α < β, то анализируется упрощенная матрица, а затем осуществляется возвращение к исходной матрице.