1.2. Матричные игры. Решение матричных игр в чистых стратегиях

Рассмотрим парную игру с нулевой суммой, в которой выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.

У каждого игрока А и В конечное число возможных действий – чистых стратегий.

Игрок А располагает m чистыми стратегиями А₁, А₂, … , А_m. Игрок В – n чистыми стратегиями B₁, B₂, … , B_n. Игра определена, если указано правило, сопоставляющее каждой паре чистых стратегий A_i и B_j число a_ij – выигрыш игрока А за счет игрока B. При a_ij<0 игрок А платит игроку В сумму |a_ij|. Если известны значения a_ij выигрыша для каждой пары (A_i,B_j) стратегий, то можно составить матрицу игры – платежную матрицу.

Платежная матрица – это табличная запись функции выигрыша, исхода игры.

Ai Bj	B1	B2	B3	………………	Bn
A1	a11	a12	a13	………………	a1n
A2	a21	a22	a23	………………	a2n
…	…	…	…	………………
Am	am1	am2	am3	………………	amn

Целью игроков является выбор наиболее выгодных стратегий, доставляющих игроку А максимальный выигрыш, а игроку В минимальный проигрыш. В ТИ исходят из предположения, что каждый игрок считает своего противника разумным и стремящимся помешать ему достичь наилучшего результата.

Стратегию игрока А называют оптимальной, если при ее применении выигрыш игрока А не уменьшается, какими бы стратегиями не пользовался игрок В.

Оптимальной стратегией для игрока В называют стратегию, при использовании которой проигрыш игрока В не увеличивается, какие бы стратегии ни применял игрок А.

С учетом этого игрок А анализирует матрицу выигрышей: для каждой чистой стратегии А_i он определяет минимальное значение . Затем по минимальным выигрышам α_i он отыскивает такую чистую стратегию А_i0, при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т.е. находит

.

Число α называется нижней чистой ценой игры (максимином). Оно показывает, какой минимальный выигрыш может получить игрок А, применяя свои чистые стратегии при любых действиях игрока В. Соответствующая стратегия А_i0 игрока А называется максиминной.

Игрок В старается максимально уменьшить проигрыш. Для каждой чистой стратегии В_j он отыскивает . Затем по β_j находит свою стратегию B_j0, при которой его проигрыш будет минимальным, т.е.

.

Число β называется верхней чистой ценой игры (минимаксом). Оно показывает, какой максимальный проигрыш при использовании своих чистых стратегий может быть у игрока В. Соответствующая чистая стратегия B_j0 игрока B минимаксной.

Таким образом, используя чистые стратегии игрок А обеспечивает выигрыш не меньше α, а игрок B в результате применения своих чистых стратегий не позволит игроку выиграть больше, чем β. Принцип осторожности, диктующий игрокам выбор максиминной и минимаксной стратегий, называют принципом минимакса.

Пример. Найти максиминную и минимаксную стратегии в игре с матрицей

Решение.

	B1	B2	B3	В4	αi
A1	0	4	-1	3	-1
A2	1	0	2	2	0
A3	3	1	-2	-1	-2
βj	3	4	2	3

Максиминной чистой стратегией является А₂.

Минимаксной для игрока B является стратегия В₃.

Теорема 1. В матричной игре нижняя чистая цена игры не превосходит верхней чистой цены игры, т.е. α ≤ β.

Доказательство: