3.4.1.Метод скалярных произведений
Рассмотрим метод скалярных произведений [7] для определения наибольшего собственного значения и соответствующего собственного вектора действительной матрицы A.
Теорема 3.10. Транспонированная матрица AT имеет те же собственные значения, что и матрица A. Пусть λi и λk — различные собственные значения матрицы A (и транспонированной матрицы AT), а xi — собственный вектор матрицы A, отвечающий собственному значению λi, а yk — собственный вектор матрицы AT, отвечающий собственному значению λk. Тогда векторы xi и xk — ортогональны.
Пусть требуется вычислить наибольшее собственное значение и соответствующий собственный вектор действительной матрицы A. В методе скалярных произведений вместе с матрицей A используется транспонированная матрица AT.
Алгоритм метода скалярных произведений.
1. Зададим начальные приближения: x0 — к собственному вектору матрицы A и y0 = x0 — к собственному вектору транспонированной матрицы AT; k = 0;
2. Вычисляем (k + 1)-е приближение к наибольшему собственному значению λ по формулам:
(3.41)
3. Если |λk+1 – λk| ≥ ε, переходим к пункту 2, иначе — к 4;
4. Конец.
3.4.2.Вычисление всех собственных значений положительно определенной симметричной матрицы
Приведем алгоритм для вычисления нескольких первых или всех собственных значений и соответствующих собственных векторов положительно определенной симметричной матрицы.
Пусть уже вычислены первые m собственных значений λ1, λ2, …, λm и m соответствующих собственных векторов x1, x2, …, xm.
Алгоритм вычисления очередного (m + 1)-го собственного значения и соответствующего собственного вектора.
0. Выберем начальное приближение
;
k = 0;
1. Вычисляем k-е приближение к собственному значению λm+1:
;
(3.42)
2. Находим вектор
из
уравнения
;
(3.43)
3. Если m > 0
ортогонализируем вектор
к первым m собственным
векторам
(3.44)
4. Нормируем полученный вектор
(3.45)
5. k = k + 1;
Процесс 1. —5. повторяется до тех пор, пока не будет выполнено условие сходимости итераций
,
(3.46)
где ε – заданная погрешность.
При вычислении первого собственного значения и соответствующего вектора пункт 3) пропускается.
Этим алгоритмом можно вычислить все собственные значения и собственные векторы.
Пример 3.11. Найти все собственные значения и соответствующие собственные векторы матриц:
1)
.
Решение с помощью программы на языке C++. Реализуем алгоритм (3.42) — (3.46) на языке C++ и проверим программу на данном примере, сравнивая полученный результат с ответами из примеров 3.9, 3.10.
Текст программы приведен ниже:
#include <iostream.h>
#include <except.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
int Eigen(long double **a, long double **x, long double *eigv,
long double eps, const int n, int k_max);
long double s_prod(long double *x1, long double *x2, const int n);
int gauss(long double **a, long double *b, long double *x, const int n);
int main(){
long double **a, **x, *eigv, eps; int i,j,n,k_max;
cout <<"\n input n = " ; cin >> n;
cout <<"\n input k_max = " ; cin >> k_max;
cout <<"\n input eps = " ; cin >> eps;
try {
a = new long double*[n]; for(i=0;i<n;i++) a[i]=new long double[n];
x = new long double*[n]; for(i=0;i<n;i++) x[i]=new long double[n];
eigv = new long double[n];
}
catch (xalloc){cout <<"\nCould not allocate\n"; exit(-1);}
cout <<"\n input matrix a: \n";
for (i=0; i<n; i++)for (j=0; j<n; j++)cin >> a[i][j];
cout <<"\n matrix a:";
for (i=0; i<n; i++){
cout << "\n ";for (j=0; j<n; j++)cout <<" "<< a[i][j];}
Eigen(a, x, eigv, eps, n, k_max);
for(i = 0; i < n; i++)cout << "\n Eigen Value [" << i << "] = " << eigv[i];
cout << "\n Eigen Vectors: " ;
for (i=0; i<n; i++){
cout <<"\n "; for (j=0; j<n; j++) cout << " " << x[i][j];}
cout <<"\n ";
cin >> i; // for pause
for(i = 0; i < n; i++) delete[] a[i];
delete a;
for(i = 0; i < n; i++) delete[] x[i];
delete x;
delete[] eigv;
return 0;
}//end main --------------------------------------------------------------
int Eigen(long double **a, long double **x, long double *eigv,
long double eps, const int n, int k_max){
int i, j, k, m;
long double **a1,*x0,*x1,*alf, xerr, xnrm, eig0, eig1,s;
a1 = new long double*[n]; for(i=0;i<n;i++) a1[i]=new long double[n];
x0 = new long double[n]; x1 = new long double[n];
alf = new long double[n];
for(m = 0; m < n; m++){
// 0.
k = 0; for(i = 0; i < n; i++)x0[i] = 1. ; eig0 = 0;
do {
// 1.
for(i = 0; i < n; i++){s = 0;
for(j = 0; j < n; j++)s += a[i][j]*x0[j]; x1[i] = s;}
eig1 = s_prod(x1,x0,n)/s_prod(x0,x0,n);
// 2.
for(i = 0; i < n; i++)x1[i] = eig1*x0[i];
for(i = 0; i < n; i++)
for(j = 0; j < n; j++)a1[i][j] = a[i][j];
gauss(a1,x1,x0,n);
// 3.
if(m > 0){
for(j = 0; j < m ; j++){
for(i = 0; i < n; i++)x1[i] = x[i][j];
alf[j] = s_prod(x0,x1,n)/s_prod(x1,x1,n);
}
for(i = 0; i < n; i++)
for(j = 0; j < m; j++)x0[i]= x0[i] - x[i][j]*alf[j];
}// end if
// 4.
xnrm = sqrt(s_prod(x0,x0,n));
for(i = 0; i < n; i++)x0[i] = x0[i] / xnrm;
xerr = fabs(eig1 - eig0); eig0 = eig1;
k = k + 1; if (k > k_max)break;
}while (xerr > eps);
eigv[m] = eig1;
for(i = 0; i < n; i++) x[i][m] = x0[i];
}// end m
for(i = 0; i < n; i++) delete[] a1[i];
delete a1;
delete[] x0;
delete[] x1;
delete[] alf;
return 0;
}// end Eigen
long double s_prod(long double *x1, long double *x2, const int n){
long double s; int i; s = 0;
for(i = 0; i < n; i++)s = s + x1[i]*x2[i];
return s;
}// end s_prod
int gauss(long double **a, long double *b, long double *x, const int n){
int i, k, m; long double amm, aim;
for (m = 0; m <= n-2; m++) {// m
amm = a[m][m];
for (k = m; k <= n-1; k++)a[m][k] = a[m][k]/amm; // 3.16
b[m] = b[m] / amm; //
for (i = m + 1; i <= n-1; i++){// i
aim = a[i][m];
for (k = m; k <= n-1; k++)
a[i][k] = a[i][k] - a[m][k]*aim; // 3.17
b[i] = b[i] - b[m]*aim; //
}// end i
}// end m
x[n-1] = b[n-1]/a[n-1][n-1]; // 3.19
for (i = n - 2; i >= 0; i--){// i
x[i] = b[i]; //
for (k = i + 1; k < n; k++) // 3.20
x[i] = x[i] - a[i][k]*x[k]; //
}// end i
return 0;
}// end gauss
Приведем результаты расчетов:
1) Для матрицы A:
Input n = 3
Input k_max = 100
Input eps = 0.001
Input matrix a:
3 1 0 1 2 0 0 0 2
matrix a:
3 1 0
1 2 0
0 0 2
Eigen Value [0] = 1.38279
Eigen Value [1] = 1.99985
Eigen Value [2] = 3.61796
Eigen Vectors:
-0.525551 0.0189405 0.850551
0.850389 -0.0179017 0.52585
0.0251862 0.99966 -0.00669857
2) Для матрицы B:
Input n = 4
Input k_max = 1000
Input eps = 0.0000001
Input matrix a:
5 -1 0 0 -1 7 4 1 0 4 8 3 0 1 3 7
matrix a:
5 -1 0 0
-1 7 4 1
0 4 8 3
0 1 3 7
Eigen Value [0] = 2.79088
Eigen Value [1] = 4.87123
Eigen Value [2] = 6.31445
Eigen Value [3] = 13.0234
Eigen Vectors:
0.279353 0.861671 0.41803 -0.0688165
0.617008 0.110771 -0.549768 0.552074
-0.660456 0.261569 0.018022 0.703602
0.324131 -0.420517 0.722967 0.442067
Приведем для дополнительной проверки правильности работы программы результаты расчета собственных значений и собственных векторов я матрицы B в программе Mathcad:
Сравнив эти результаты, можно сделать вывод о корректности работы программы и правильности алгоритма (3.42) — (3.46).
Замечание. Так как программа носит учебный характер, интерфейс программы сделан простым, достаточным на наш взгляд для понимания алгоритма. В частности, если размерность матрицы больше четырех, то вывод матрицы на экран может быть не таким наглядным (строка матрицы может не поместиться в одну строку экрана). В этом случае студентам предлагается изменить программу в соответствующей части.
Задачи для самостоятельного решения.
Решить систему линейных уравнений Ax = b в электронных таблицах методом Гаусса. Вычислить определитель матрицы A методом Гаусса. Найти обратную матрицу A–1 методом Гаусса.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
,
16.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
Для данных систем линейных уравнений проверить условие сходимости метода итераций и решить их.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Решить системы линейных уравнений методом Зейделя, если выполняется условие сходимости.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
Для заданных матриц а) составить характеристическое уравнение и найти собственные значения; б) найти собственные векторы.
41.
.
42.
.
43.
.
44.
.
45.
.
46.
.
47.
.
48.
.
49.
.
50.
.
51.
.
52.
.
53.
.
54.
.
55.
.
56.
.
57.
.
58.
.
59.
.
60.
.
Для заданной матрицы найти методом итераций наибольшее собственное значение и соответствующий собственный вектор.
61.
.
62.
.
63.
.
64.
.
65.
.
66.
.
67.
.
68.
.
69.
.
70.
.
71.
.
72.
.
73.
.
74.
.
75.
.
76.
.
77.
.
78.
.
79.
.
80.
.
Проверить матрицу на положительную определенность, если матрица положительно определена, найти все собственные значения и собственные векторы.
81. . 82. . 83. . 84. . 85. .
86. . 87. . 88. . 89. . 90. .
91. . 92. . 93. . 94. . 95. .
96. . 97. . 98. . 99. . 100. .
Ответы. (Для номеров 1 — 20 приведены только решения систем уравнений).
1. (0,801; 10,893; –3,678; 0,709), 2. (0,839; –8,345; 5,121; 1,009), 3. (0,858; 6,314; –0,951; 0,230), 4. (1,105; –4,247; 2,880; 1,031), 5. (3,367; –6,905; 4,871; 1,490), 6. (0,909; 4,822; 0,024; –0,466), 7. (0,918; 4,065; 0,300; –1,177), 8. (0,820; 3,250; –0,086; –1,962), 9. (–1,037; 1,899; –1,409; 0,336), 10. (–0,235; 0,862; –0,696; 0,432).
11. (0,922; 10,958; –3,873; 0,886), 12. (1,021; –8,993; 5,39; 1,089),
13. (0,912; 6,271; –1,026; 0,371), 14. (1,207; –4,488; 3,006; 1,061),
15. (0,3; –1,02; 0,94; 0,74), 16. (0,936; 4,787; –0,00495; –0,361),
17. (0,976; 3,984; 0,282; –0,913), 18. (1,024; 3,008; 0,148; –1,123),
19. (0,792; –1,192; 1,083; 0,777), 20. (0,865; –0,84; 0,885; 0,718).
3. Вычислительные методы линейной алгебры 1
3.1. Нормы векторов и матриц 1
3.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений 3
3.2.1. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений 4
3.2.2. Итерационный метод 12
3.2.3. Метод Зейделя 16
3.2.4. Погрешность решения и обусловленность системы уравнений 20
3.3. Вычисление определителя и обратной матрицы 23
3.4. Собственные числа и собственные векторы матрицы 29
3.4.1. Метод скалярных произведений 34
3.4.2. Вычисление всех собственных значений положительно определенной симметричной матрицы 35