3.2.Решение систем линейных алгебраических уравнений

Теоретические условия существования и единственности решения систем линейных уравнений известны — главный определитель не должен быть равен нулю. Тогда решение можно найти по правилу Крамера, или методом исключения неизвестных Гаусса. Метод Гаусса и правило Крамера относятся к прямым методам решения систем линейных алгебраических уравнений. Они позволяют за конечное число действий получить точное решение системы, при условии, что все действия выполняются точно, без округления. Но на практике, при больших порядках системы, правило Крамера требует слишком много времени для вычисления определителей. Если определители вычислять формально по определению как сумму n! слагаемых, то число операций имеет порядок n!n. Правило Крамера используется чаще для теоретических исследований, а на практике почти не применяется.

Метод исключения неизвестных Гаусса для решения систем линейных уравнений более эффективен, чем правило Крамера. Более того, метод Гаусса также эффективен и при вычислении определителя и обратной матрицы.

При большом числе неизвестных иногда оказывается, что выгоднее решать систему уравнений методом итераций, который дает приближенное решение системы.

3.2.1.Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Пусть требуется решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

(3.9)

Прямой ход метода Гаусса преобразует систему (3.9) к треугольному виду исключением соответствующих неизвестных. Пусть a₁₁ ≠ 0. Первый шаг заключается в исключении переменной x₁ с помощью первого уравнения из остальных уравнений. Разделим первое уравнение на a₁₁:

(3.10)

Затем от второго уравнения отнимем первое уравнение, умноженное на a₂₁. В результате, на месте второго уравнения получим уравнение, не содержащее x₁. Чтобы исключить x₁ из третьего уравнения отнимем от него первое уравнение, умноженное на a₃₁. Аналогично исключаем x₁ из четвертого и последующих уравнений. Для исключения x₁ из i-го уравнения (i = 2, 3, …, n) применим формулы:

(3.11)

В результате этих вычислений получим систему вида:

(3.12)

На втором шаге исключаем переменную x₂ с помощью второго уравнения из третьего и последующих уравнений. Предположим, что . Разделим второе уравнение на :

(3.13)

В системе (3.12) с помощью второй строки исключим x₂ из i-го уравнения (i = 3, 4, …, n), применяя формулы:

(3.14)

Система (3.12) преобразуется к следующему виду:

(3.15)

1. В общем случае, на шаге m, для m = 1, 2, …, n – 1, делим сначала m-ое уравнение на :

(3.16)

а затем исключаем переменную x_m с помощью m-ого уравнения из i-го, где i = m + 1, …, n:

(3.17)

Здесь предполагается, что на каждом шаге выполняется условие .

В результате (n – 1)-го шага система (3.9) приобретает вид:

(3.18)

2. Обратный ход метода Гаусса вычисляет неизвестные x_i в обратном порядке. Из последнего уравнения в (3.18) находим

(3.19)

Неизвестные x_i определяем по следующим формулам:

(3.20)

Метод Гаусса предполагает, что на m-ом шаге выполняется условие . Если это условие не выполняется, то алгоритм перестанет работать, так как столкнется с делением на ноль. Кроме этого, в случае выполнения условия , может возникнуть ситуация, когда ведущий элемент близок к нулю, что тоже может привести к неприятностям в виде больших погрешностей.

Чтобы избежать этих трудностей применяют метод Гаусса с выбором главного элемента. В качестве ведущего элемента на каждом шаге выбирают наибольший по модулю элемент столбца и переставляют соответствующую строку с другой строкой так, чтобы найденный элемент стал диагональным, затем исключают соответствующую переменную. Так как при этих перестановках в уравнениях переменные остаются на своих местах, решение преобразованной системы совпадает с решением исходной системы уравнений.

Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцам отличается от алгоритма (3.16) — (3.20) только тем, что перед преобразованием (3.16) надо выполнить поиск максимального по модулю элемента в m-ом столбце и переставить строки системы уравнений так, чтобы максимальный элемент стал диагональным элементом матрицы коэффициентов.

Алгоритм метода Гаусса с выбором главного элемента по столбцам.

1. Для m = 1, 2, …, n – 1 выполним преобразования:

Найдем максимальный по абсолютной величине элемент в m-ом столбце. Пусть это будет элемент a_im. Если i ≠ m, то меняем местами i-ую и m-ую строки:

r = a_ij, a_ij = a_mj, a_mj = r, j = 1, …, n; r = b_i, b_i = b_m, b_m = r.

Элементы матрицы и вектора после преобразования на m-ом шаге обозначим , причем .

Делим m-ое уравнение на ведущий элемент :

а затем исключаем переменную x_m с помощью m-ого уравнения из i-го, где i = m + 1, …, n:

2. Вычисляем неизвестные x_i в обратном порядке:

;

Приведенный вариант метода Гаусса дает решение и тогда, когда обычный метод Гаусса перестает работать из-за деления на ноль.

При реализации метода Гаусса на каком-либо языке программирования удобно использовать исходные матрицу a и вектор b для хранения промежуточных результатов преобразований. Приведенные формулы преобразований записываются как операторы присваивания, т.е. имена переменных a_ij и b_j записываются без верхних индексов. Ниже приведены различные примеры программ метода Гаусса.

В другом варианте метода, методе Гаусса с выбором главного элемента по строкам на каждом шаге выбирают наибольший по модулю элемент строки и переставляют столбцы так, чтобы ведущий элемент находился на диагонали. В этом варианте метода Гаусса в уравнениях неизвестные переменные меняются местами и в алгоритме надо заботиться о том, чтобы запомнить эти перестановки.

В общем случае метода Гаусса с выбором главного элемента на шаге m ищется максимальный по модулю элемент во всей матрице коэффициентов, и производится перестановка строк и столбцов так, чтобы этот элемент стал диагональным.

Мы не будем рассматривать реализации указанных вариантов метода Гаусса. Отметим, что последний вариант метода Гаусса с выбором главного элемента считается лучшим.

Общее число операций для решения системы уравнений методом Гаусса составляет приблизительно [1] 2n³/3 + 2n², при этом большая часть, т.е. 2n³/3 операций приходится на прямой ход.

Пример 3.3. Решить методом Гаусса систему уравнений

4x₁ + 2x₂ – 4x₃ + 2x₄ = 12,

2x₁ + 9x₂ – 4x₃ – 4x₄ = 14,

3x₁ + 2x₂ – 8x₃ + 2x₄ = 20,

4x₁ + 2x₂ + 5x₃ + 7x₄ = 10.

Решение. Продемонстрируем решение в программе электронных таблиц.

0. Запишем коэффициенты и правые части системы в диапазоне A1:E4.

1. В диапазоне A5:E8 сформируем расширенную матрицу системы, которая получится после исключения переменной x₁ из второго, третьего и четвертого уравнений.

В ячейку A5 вводим формулу =A1/$A1; выделим A5 и протянем маркер заполнения (мышью за правый нижний угол) до E5.

Затем в ячейку A6 вводим формулу =A2-A$5*$A2; выделим A6 и протянем маркер заполнения до E6.

Выделим диапазон A6:E6 и протянем маркером заполнения до E8.

В ячейках A5:E8 появятся следующие значения:

1,0000	0,5000	-1,0000	0,5000	3,0000
0,0000	8,0000	-2,0000	-5,0000	8,0000
0,0000	0,5000	-5,0000	0,5000	11,0000
0,0000	0,0000	9,0000	5,0000	-2,0000

2. В диапазоне A9:E12 сформируем матрицу системы, которая получится после исключения x₂ из третьего и четвертого уравнений.

Присвоим строке A9:E9 значения строки A5:E5, т.е. выделим диапазон A9:E9 и введем формулу =A5:E5 и удерживая нажатыми клавиши Ctrl и Shift, нажимаем Enter.

В ячейку B10 вводим формулу =B6/$B6; выделим B10 и протянем маркер заполнения до E10.

Затем в ячейку B11 вводим формулу =B7-B$10*$B7; выделим B11 и протянем мышью маркер заполнения до E11.

Выделим диапазон B11:E11 и протянем маркер заполнения до E12.

В ячейках A9:E12 появятся следующие значения:

1,0000	0,5000	-1,0000	0,5000	3,0000
0,0000	1,0000	-0,2500	-0,6250	1,0000
	0,0000	-4,8750	0,8125	10,5000
	0,0000	9,0000	5,0000	-2,0000

3. В диапазоне A13:E16 сформируем матрицу системы, которая получится после исключения x₃ из четвертого уравнения.

Перепишем значения строк A9:E10 в строки A13:E14, для этого выделим диапазон A13:E14 и введем формулу =A9:E10 и удерживая клавиши Ctrl и Shift нажатыми, нажимаем Enter.

В ячейку C15 вводим формулу =C11/$C11; выделим C15 и протянем мышью за правый нижний угол до E15.

В ячейку C16 вводим формулу =C12-C$15*$C12, выделим C16 и протянем мышью за правый нижний угол до E16. В ячейках A13:E16 получим значения:

1,0000	0,5000	-1,0000	0,5000	3,0000
0,0000	1,0000	-0,2500	-0,6250	1,0000
		1,0000	-0,1667	-2,1538
		0,0000	6,5000	17,3846

4. Сформируем в диапазоне A17:E20 окончательную матрицу системы, которая имеет треугольный вид с единицами на диагонали.

Выделим диапазон A17:E19 и введем формулу =A13:E15 и, удерживая нажатыми клавиши Ctrl и Shift, нажимаем Enter. В ячейку D20 вводим формулу =D16/$D16, выделим C15 и протянем мышью за правый нижний угол до E20. В диапазоне A17:E20 получим:

1,0000	0,5000	-1,0000	0,5000	3,0000
0,0000	1,0000	-0,2500	-0,6250	1,0000
0,0000	0,0000	1,0000	-0,1667	-2,1538
			1,0000	2,6746

В таблице 3.1 показаны введенные формулы, которые можно увидеть, если выполнить команду меню «Сервис — параметры», выбрать вкладку «Вид» и отметить в параметрах окна флажком пункт «формулы».

5. Теперь остается выполнить обратный ход метода Гаусса. Для этого в ячейках F17:F20 введем формулы:

=E17-F20*D17-F19*C17-F18*B17

=E18-F20*D18-F19*C18

=E19-F20*D19

=E20

В ячейках F17:F20 получим ответ:

x₁ = –1,1677; x₂ = 2,2446; x₃ = –1,7081; x₂ =2,6746.

Таблица 3.1

	A	B	C	D	E
1	4	2	-4	2	12
2	2	9	-4	-4	14
3	3	2	-8	2	20
4	4	2	5	7	10
5	=A1/$A1	=B1/$A1	=C1/$A1	=D1/$A1	=E1/$A1
6	=A2-A$5*$A2	=B2-B$5*$A2	=C2-C$5*$A2	=D2-D$5*$A2	=E2-E$5*$A2
7	=A3-A$5*$A3	=B3-B$5*$A3	=C3-C$5*$A3	=D3-D$5*$A3	=E3-E$5*$A3
8	=A4-A$5*$A4	=B4-B$5*$A4	=C4-C$5*$A4	=D4-D$5*$A4	=E4-E$5*$A4
9	=A5:E5	=A5:E5	=A5:E5	=A5:E5	=A5:E5
10	0	=B6/$B6	=C6/$B6	=D6/$B6	=E6/$B6
11		=B7-B$10*$B7	=C7-C$10*$B7	=D7-D$10*$B7	=E7-E$10*$B7
12		=B8-B$10*$B8	=C8-C$10*$B8	=D8-D$10*$B8	=E8-E$10*$B8
13	=A9:E10	=A9:E10	=A9:E10	=A9:E10	=A9:E10
14	=A9:E10	=A9:E10	=A9:E10	=A9:E10	=A9:E10
15			=C11/$C11	=D11/$C11	=E11/$C11
16			=C12-C$15*$C12	=D12-D$15*$C12	=E12-E$15*$C12
17	=A13:E15	=A13:E15	=A13:E15	=A13:E15	=A13:E15
18	=A13:E15	=A13:E15	=A13:E15	=A13:E15	=A13:E15
19	=A13:E15	=A13:E15	=A13:E15	=A13:E15	=A13:E15
20				=D16/$D16	=E16/$D16

В таблице 3.2 приведены результаты решения системы (после снятия флажка с пункта «формулы» меню «Сервис — параметры»).

Таблица 3.2

	A	B	C	D	E	F
1	4	2	-4	2	12	12,0000
2	2	9	-4	-4	14	14,0000
3	3	2	-8	2	20	20,0000
4	4	2	5	7	10	10,0000
5	1,0000	0,5000	-1,0000	0,5000	3,0000
6	0,0000	8,0000	-2,0000	-5,0000	8,0000
7	0,0000	0,5000	-5,0000	0,5000	11,0000
8	0,0000	0,0000	9,0000	5,0000	-2,0000
9	1,0000	0,5000	-1,0000	0,5000	3,0000
10	0,0000	1,0000	-0,2500	-0,6250	1,0000
11		0,0000	-4,8750	0,8125	10,5000
12		0,0000	9,0000	5,0000	-2,0000
13	1,0000	0,5000	-1,0000	0,5000	3,0000
14	0,0000	1,0000	-0,2500	-0,6250	1,0000
15			1,0000	-0,1667	-2,1538
16			0,0000	6,5000	17,3846
17	1,0000	0,5000	-1,0000	0,5000	3,0000	-1,1677
18	0,0000	1,0000	-0,2500	-0,6250	1,0000	2,2446
19	0,0000	0,0000	1,0000	-0,1667	-2,1538	-1,7081
20				1,0000	2,6746	2,6746

6. Для проверки правильности введенных формул умножим исходную матрицу коэффициентов, хранящихся в ячейках A1:D4, на столбец найденных решений F17:F20, и запишем полученные значения в столбец F1:F4.

Для этого выделим диапазон F1:F4, введем формулу

=МУМНОЖ(A1:D4;F17:F20)

и, удерживая нажатыми клавиши Ctrl и Shift, нажмем Enter. Значения в столбцах E1:E4 и F1:F4 должны совпадать.

Замечание. Приведенный лист с формулами можно применить для решения любой системы уравнений с четырьмя неизвестными. Для этого в диапазоне A1:E4 введем коэффициенты и правые части новой системы уравнений. В диапазоне F17:F20 автоматически отобразится решение новой системы уравнений.

Проверить правильность алгоритма можно, например, заменив числа в столбце E1:E4 суммами коэффициентов уравнений. Тогда вектор решений должен состоять из единиц.

Приведем программу на языке C++ для решения системы линейных уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента:

#include <except.h>

#include <iostream.h>

int gauss(long double **a, long double *b, long double *x, const int n);

int main(){

long double **a; long double *b; long double *x; int i,j,n;

cout <<" input n = " ; cin >> n;

try {

a= new long double*[n]; for(i=0;i<n;i++) a[i]=new long double[n];

b= new long double[n]; x= new long double[n];

}

catch (xalloc){cout <<"\nCould not allocate\n"; exit(-1);}

cout <<"\n input matrix a \n";

for (i=0; i<n; i++)for (j=0; j<n; j++)cin >> a[i][j];

cout <<"\n input vector b\n";

for (i=0; i<n; i++)cin >> b[i];

cout << "\n matrix a: ";

for (i=0; i<n; i++){cout << "\n"; for (j=0; j<n; j++) cout <<" "<< a[i][j];}

cout << "\n vector b: ";

for (i=0; i<n; i++)cout << "\n " << b[i];

gauss(a, b, x, n);

cout << "\n vector x: ";

for (i=0; i<n; i++)cout << "\n x[" << i <<"] = " << x[i];

cout << "\n Press Key and Enter to continue";

cin >> i; // for pause

for(i=0;i<n;i++)delete[] a[i];

delete a;

delete[] b;

delete[] x;

return 0;

}//end main

int gauss(long double **a, long double *b, long double *x, const int n){

// Метод Гаусса с выбором главного элемента

int i, k, m, im; long double amm, aim, r;

for (m = 0; m <= n-2; m++) {// m

amm = a[m][m]; im = m;

for (i = m; i <= n-1; i++)

if(a[i][m] > amm){amm = a[i][m]; im = i; }

if(im != m){r = b[im]; b[im] = b[m]; b[m] = r;

for (k = m; k <= n-1; k++)

{r = a[im][k]; a[im][k] = a[m][k]; a[m][k] = r;}

}

for (k = m; k <= n-1; k++)a[m][k] = a[m][k]/amm; // 3.16

b[m] = b[m] / amm; //

for (i = m + 1; i <= n-1; i++){// i

aim = a[i][m];

for (k = m; k <= n-1; k++)

a[i][k] = a[i][k] - a[m][k]*aim; // 3.17

b[i] = b[i] - b[m]*aim; //

}// end i

}// end m

x[n-1] = b[n-1]/a[n-1][n-1]; // 3.19

for (i = n - 2; i >= 0; i--){// i

x[i] = b[i]; //

for (k = i + 1; k < n; k++) // 3.20

x[i] = x[i] - a[i][k]*x[k]; //

}// end i

return 0;

}// end gauss

Приведем для сравнения вариант процедуры обычного метода Гаусса:

int gauss(long double **a, long double *b, long double *x, const int n){

// Метод Гаусса

int i, k, m; long double amm, aim;

for (m = 0; m <= n-2; m++) {// m

amm = a[m][m];

for (k = m; k <= n-1; k++)a[m][k] = a[m][k]/amm; // 3.16

b[m] = b[m] / amm;

for (i = m + 1; i <= n-1; i++){// i

aim = a[i][m];

for (k = m; k <= n-1; k++)

a[i][k] = a[i][k] - a[m][k]*aim; // 3.17

b[i] = b[i] - b[m]*aim;

} // end i

} // end m

x[n-1] = b[n-1]/a[n-1][n-1]; // 3.19

for (i = n - 2; i >= 0; i--){// i

x[i] = b[i];

for (k = i + 1; k < n; k++) // 3.20

x[i] = x[i] - a[i][k]*x[k];

} // end i

return 0;

} // end gauss

Отметим, что в процедуре gauss() массивы исходных данных a и b не сохраняются, так как результаты преобразований записываются в эти же массивы.