4.3 Метод конечных разностей.

Одним из наиболее простых методов решения краевой задачи (4.2), (4.3) является сведение ее к системе конечно – разностных уравнений. Для этого разобьем основной отрезок на равных частей, взяв шаг по отрезку, где Точки разбиения имеют абсциссы

Значения в точках деления искомой функции (Рис.3) и ее производных обозначим соответственно через Введем также обозначения

Заменяя производные симметричными конечно – разностными отношениями для внутренних точек отрезка будем иметь

(4.14)

Для конечных точек и чтобы не выходить за пределы отрезка можно положить

(4.15)

Однако если функция достаточно гладкая, то более точные значения дают формулы

(4.16)

и

(4.17)

Используя формулы (4.14), дифференциальное уравнение (4.2) во внутренних точках приближенно можно заменить системой линейных уравнений

где (4.18)

Кроме того, в силу формул (4.16), (4.17) краевые условия (4.3) дополнительно дают еще два уравнения

(4.19)

Таким образом получена линейная система уравнений с неизвестными представляющими собой значение искомой функции в точках Решив эту систему, получим таблицу значений искомой функции

5. Метод прогонки.

При применении метода конечных разностей к краевым задачам для дифференциальных уравнений 2 – го порядка получается «трехчленная система» линейных алгебраических уравнений вида (4.18), каждое из которых содержит три соседних неизвестных. Для решения такой системы разработан специальный метод, получивший название метода прогонки.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

(5.1)

с двухточечными линейными краевыми условиями

(5.2)

Предположим также, что функции непрерывны на

От дифференциального уравнения (5.1) обычным приемом перейдем к конечно – разностному уравнению. Разбиваем отрезок на частей с шагом Полагая и вводя обозначения для внутренних точек отрезка вместо дифференциального уравнения (5.1) получаем систему разностных уравнений

Отсюда после соответствующих преобразований будем иметь

(5.3)

где мы ввели решетчатые функции

(5.4)

Для производных на концах и берем односторонние производные (уравнение (4.15)). Тогда, согласно краевым условиям (5.2), получаем

(5.5)

Линейную систему уравнений (5.3), (5.5) будем решать методом прогонки. Разрешая уравнение(5.3) относительно будем иметь

(5.6)

Предположим, что с помощью полной системы уравнений (5.3), (5.5) из уравнения (5.6) исключена неизвестная Тогда уравнение (5.6) примет вид

(5.7)

где некоторые коэффициенты. Из уравнения (5.7) получаем

Подставив это выражение в уравнение (5.3), получаем

и, следовательно

(5.8)

Сравнивая формулы (5.7) и (5.8), получаем для определения коэффициентов и рекуррентные формулы

(5.9)

Определим теперь коэффициенты и Из первого краевого условия (5.5) получаем

С другой стороны, из формулы (5.7) при имеем

Сравнивая последние два равенства, находим

(5.10)

На основании формул (5.9), (5.10) последовательно определяем коэффициенты до и включительно (прямой ход метода прогонки).

Обратный ход метода прогонки начинается с определения Используя второе краевое условие (5.5) и формулу (5.7) при получаем систему двух уравнений

(5.11)

Решая систему уравнений (5.11) относительно будем иметь

(5.12)

Далее по формуле (5.7) последовательно находим

Для простейших краевых условий формулы для и упрощаются. Полагая и из формул (5.10) будем иметь: Отсюда получаем

а также

Метод прогонки дает более точные результаты, если при переходе от краевых условий (5.2) к конечно – разностным соотношениям воспользуемся трехчленными формулами (4.16), (4.17) для производных в точках и Используя эти формулы, из краевых условий (5.2) получаем

(5.13)

Для вычисления коэффициентов и берем первое краевое условие (5.13) и уравнение

взятое из системы (5.3) при

Исключая из этих двух уравнений, находим

(5.14)

С другой стороны, из формулы (5.7) при имеем

Сравнивая последнее равенство с формулой (5.14), получаем

(5.15)

Вычислив по формулам (5.15) коэффициенты и далее последовательно определяем коэффициенты до и включительно (формулы (5.9)).

Обратный ход метода начинается с определения Используя второе краевое условие (5.13) и формулы (5.7), взятые при и получаем систему трех уравнений

(5.16)

Решая систему уравнений (5.16) относительно будем иметь

(5.17)

Далее по формулам (5.7) последовательно находим

Пример.

6. Метод Галеркина и метод моментов.

6.1 Метод Галеркина.

Рассмотрим линейную краевую задачу

(6.1)

при наличии линейных краевых условий

(6.2)

Выберем конечную систему базисных функций таким образом, чтобы функция удовлетворяла краевым условиям

а функции удовлетворяли бы однородным краевым условиям

Решение краевой задачи (6.1), (6.2) будем искать в следующем виде

(6.3)

При нашем подборе базисных функций функция определяемая формулой (6.3), очевидно, удовлетворяет краевым условиям (6.2) при любом выборе коэффициентов Выражение (6.3) подставим в дифференциальное уравнение (6.1), что дает невязку

Для точного решения нашей задачи функция Поэтому для приближенного решения, близкого к точному, необходимо подобрать коэффициенты так, чтобы функция была в каком то смысле мала.

Согласно методу Галеркина требуем, чтобы невязка была ортогональна к базисным функциям что при достаточно большом числе базисных функций обеспечивает малость функции невязки в среднем.

Таким образом, для определения коэффициентов приходим к системе уравнений

или

(6.4)

С учетом явного вида функции невязки для го уравнения из системы (6.4) получаем

Вводим коэффициенты

(6.5)

и приводим систему уравнений (6.4) к виду

(6.6)

Решая систему алгебраических уравнений (6.6), находим коэффициенты а далее, по формуле (6.3) получаем решение поставленной краевой задачи.

Пример.