6.2 Метод моментов.
Метод моментов является обобщением
метода Галеркина. При использовании
метода моментов для решения краевой
задачи (6.1), (6.2) выбираются две системы
функций. Система базисных функций
выбирается аналогично системе функций
в методе Галеркина, т.е. функция
удовлетворяет краевому условию
а функции удовлетворяют однородным краевым условиям
Систему базисных функций
выбираем из условия ортогональности
функций
функции невязки
где функция
дается равенством (6.3).
Таким образом, коэффициенты находим, решая систему уравнений
или
(6.7)
где коэффициенты системы
Вычислив из системы уравнений (6.7) коэффициенты по формуле (6.3) находим решение краевой задачи (6.1), (6.2).
7. Численное интегрирование.
7.1 Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.
Вычисление определенного интеграла от непрерывной функции с помощью формулы Ньютона – Лейбница сводится к нахождению первообразной, которая всегда существует, но не всегда является элементарной функцией. В многочисленных приложениях интегральная функция задается таблично и формула Ньютона – Лейбница непосредственно неприменима.
Возникает задача о численном вычислении определенного интеграла, решаемая с помощью формул, носящих название квадратурных.
Получим простейшие формулы численного
интегрирования. Вычисляем приближенное
численное значение интеграла
Отрезок интегрирования
разобьем на
равных частей точками деления
называемых узлами квадратурной формулы.
Пусть в узлах известны значения
Величина
называется интервалом интерполирования
или шагом. На частичном отрезке
подынтегральную функцию заменяем первым
интерполяционным многочленом Ньютона
который на рассматриваемом отрезке
приближенно представляет функцию
1) Удержим в интерполяционном многочлене только один первый член, тогда
Итак, получена квадратурная формула
(7.1)
Формула (7.1) называется формулой прямоугольников.
2) Удержим в интерполяционном многочлене два первых члена, тогда
Таким образом, получаем
(7.2)
Формула (7.2) называется формулой трапеций.
3) Отрезок интегрирования
разобьем на четное число
равных частей, при этом шаг интегрирования
На отрезке
длиной
подынтегральную функцию заменим
интерполяционным многочленом второй
степени, т.е. удержим в многочлене три
первых члена