4.2 Редукция двухточечной краевой задачи для линейных уравнений 2 – го порядка к задаче Коши.

Решение краевой задачи (4.2), (4.3) будем искать в виде линейной комбинации

(4.4)

где ненулевое решение соответствующего однородного уравнения

(4.5)

а некоторое решение данного неоднородного дифференциального уравнения (4.2)

(4.6)

Очевидно, функция определяемая формулой (4.4), где произвольная постоянная, является решением уравнения (4.2).

Потребуем, чтобы первое краевое условие в системе равенств (4.3) выполнялось для функции при любом Используя это краевое условие, будем иметь

или

(4.7)

Для того чтобы равенство (4.7) было справедливо при любом необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при обращался в нуль, т.е. должны быть выполнены равенства

(4.8)

(4.9)

Для обеспечения равенств (4.8), (4.9) достаточно положить

(4.10)

где постоянная отлична от нуля, а также

если (4.11)

и

если (4.12)

Отсюда видно, что функция есть решение задачи Коши для однородного уравнения (4.5), удовлетворяющее начальным условиям (4.10), а есть решение задачи Коши для неоднородного уравнения (4.6), удовлетворяющего начальным условиям (4.11) или (4.12). При этом для любого функция удовлетворяет краевому условию на конце

Подберем теперь постоянную так, чтобы функция удовлетворяла второму краевому условию в системе равенств (4.3). Это дает

откуда получаем

При этом предполагается, что знаменатель

(4.13)

Таким образом, краевая задача (4.2), (4.3) сведена к задаче Коши для функций и Заметим, что если обеспечено условие (4.13), то краевая задача (4.2), (4.3) имеет единственное решение. В противном случае она или совсем не имеет решений, или их бесчисленное множество.