Метод касательных (метод Ньютона)

Метод касательных, связанный с именем Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Предположим, что функция f(x), имеющая корень с на отрезке [a, b], дифференцируема на этом отрезке, и ее производная f`(x) не обращается на нем в нуль. Возьмем произвольную точку x_o и напишем в ней уравнение касательной к графику функции f(x) :

y = f(x_o)+f`(x_o)(x-x_o).

График функции f(x) и ее касательной близки около точки касания, поэтому естественно ожидать, что точка x₁ пересечения касательной с осью x будет расположена недалеко от корня с (рис. 5).

Рис. 5. Построение последовательности по методу касательных

Для определения точки x₁ имеем уравнение

f(x_o) + f `(x_o)(x₁-x_o)=0.

Таким образом,

x₁ = x_o - f(x_o)/f `(x_o).

Повторим проделанную процедуру: напишем уравнение касательной к графику функции f(x) при x = x₁ и найдем для нее точку пересечения x₂ с осью x (рис. 5 ):

x₂ = x₁ - f(x₁)/f `(x₁).

Продолжая этот процесс, получим последовательность {x_n}, определенную с помощью рекуррентной формулы:

x_n+1=x_n - f(x_n)/f `(x_n), n= 0, 1, 2, . . .

При исследовании этой последовательности, как и последовательности метода итераций, встают два вопроса:

1. Можно ли процесс вычисления чисел x_n продолжать неограниченно, т.е. будут ли числа x_n принадлежать отрезку [a, b]?

2. Если итерационный процесс бесконечен, то как ведет себя последовательность{x_n} при n→ ∞ ?

Теорема о сходимости метода касательных.

Если функция f(x) удовлетворяет сформулированным условиям, то найдется такое δ , 0<δ≤min (c-a, b-c), что при любом выборе начального приближения на отрезке [c-δ,c+δ][a, b] существует бесконечная итерационная последовательность, которая сходится к корню с.

В силу предположения о дифференцируемости функции f(x) и не равенстве нулю ее производной f `(x) уравнение эквивалентно на отрезке [a,b] уравнению

x=φ(x), где φ(x)= x – f(x)/f `(x),

Вычислим производную функцию φ(x)= x – f(x)/f `(x):

φ`(x)= 1 – [(f `(x))²- f(x) f ``(x)]/(f `(x))<sup>2</sup> =- f(x) f ``(x)/ (f `(x))²

и оценим полученное выражение. Согласно неравенствам, будем иметь

|φ`(x)|≤M | f(x)|/ m².

Для дальнейшей оценки |φ`(x)| воспользуемся непрерывностью и равенством нулю функции f(x) в точке x=c:

lim f(x) = f(c) = 0.

Положим ε = m²/(2M), тогда для данного ε можно указать такое δ, 0<δ≤min (c-a, b-c), что для всех x[c- δ, c+ δ] выполняется неравенство

| f(x) f(c)| = | f(x)| ≤ε=m²/(2M).

Выполняя преобразования, получим

|φ`(x)|≤(M/ m²).(m²/2M) = ½.

Таким образом, функция φ(x) удовлетворяет на отрезке [c-δ,c+δ][a, b] условию Липшица с постоянной α=1/2<1. Это означает, что уравнение можно решать методом итераций: при любом выборе нулевого приближения x_o на отрезке [c-δ,c+δ] существует бесконечная последовательность {x_n} , сходящаяся к корню x =c.

Итерационная последовательность для уравнения, сходимость которой мы только, что установили, является последовательностью метода касательных. Теорема доказана.

Требования близости нулевого приближения x_o к искомому корню с является существенным для метода касательных. На рис. 6 изображен график той же функции f(x), что и на предыдущим графике, однако x_o выбрано дальше от корня с, чем в первом случае. В результате после первого же шага получается точка x₁ , которая не принадлежит исходному отрезку [a,b], и на этом процесс построения рекуррентной последовательности метода касательных обрывается.

Таким образом, до начала расчетов по данному методу для выбора нулевого приближения x_o нужно знать область локализации искомого корня x=c. Если известен в общих чертах график функции f(x), , то ее легко определить по графику. В случае необходимости можно сделать несколько шагов по методу вилки. Затруднения, связанные с предварительным исследованием уравнения, вполне окупаются высокой скоростью сходимости метода.

Рис.6. Случай, когда процесс построения последовательности {x_n} обрывается из-за плохого выбора нулевого приближения

В качестве примера можно рассмотреть задачу извлечения квадратного корня из произвольного положительного числа a, a>0, который будем искать как решение уравнения

f(x) =x² – a=0.

Рекуррентная формула метода Ньютона в данном случае принимает вид

x_n=1 = x_n – (x_n²-a)/2x_n .

Рассмотрим извлечение квадратного корня из числа 27. В качестве первого приближения примем 5.

n	xn
0	5
1	5,2000
2	5,1961538461538500
3	5,1961524227068300
4	5,1961524227066300

Процесс сходимости весьма быстрый.

Рассмотрим пример по определению температуры воздуха внутри помещения (см. предыдущие разделы).

f(t_в) =(t_в +20)50/2,5 – 1,5^.600((82,5- t_в)/70)^1,4 =0

f `( t_в) = 20 t_в –1,4^.1,5^.600((82,5-t_в)/70)^0,4(-1/70)= 20 +18((82,5-t_в)/70)^0,4

Рекуррентная формула принимает вид

t_в(n+1)= t_в(n) –[(t_в +20)50/2,5 – 1,5^.600((82,5- t_в)/70)^1,4 ]/[ 20 +18((82,5-t_в)/70)^0,4 ]

В качестве первого приближения примем среднее значение ранее определенного интервала [10, 25] – 17,5.

n	xn
0	17,5
1	19,13591322
2	19,1397908375762
3	19,1397908595864
4	19,1397908595864

Начиная с n=1 последовательность {x_n} возрастает и приближается к корню x=c снизу. После третьего шага процесс «останавливается». Становится невозможным уловить разницу между x_n=1 и x_n , лежащей за пределами ошибки округления.

При оценки эффективности численных методов существенное значение имеют различные свойства:

1) универсальность;

2) простота организации вычислительного процесса и контроля за точностью;

3) скорость сходимости.

Выводы

1. Наиболее универсальным является метод вилки: он требует только непрерывности функции. Два других метода накладывают более сильные ограничения. В некоторых случаях это преимущество метода вилки может оказаться существенным.

2. С точки зрения организации вычислительного процесса все три метода очень просты. Однако и здесь метод вилки обладает определенным преимуществом. Вычисления можно начинать с любого отрезка [a, b], на концах которого непрерывная функция принимает значения разных знаков. Сходимость же метода итераций или касательных зависит от того, насколько удачно выбрано нулевое приближение.

3. Наибольшей скоростью сходимости обладает метод касательных. В случаях, когда подсчет значений функции сложен и требует больших затрат машинного времени, такое преимущество становится определяющим.

РАСЧЕТ ПЛОСКОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ

Плоским температурным полем называется такое поле, в котором температура изменяется только в направлении осей x и y, а в направлении оси z остается постоянной. В ограждающих конструкциях зданий плоское температурное поле характерно при наличии в них элементов каркаса, перемычек и пр., когда их протяженность значительно превышает толщину ограждения.

Дифференциальное уравнение плоского температурного поля имеет следующий вид:

∂²t/∂x² = ∂²t/∂y² .

Интегрирование этого уравнения в общем виде представляет весьма сложную задачу, которая еще более усложняется наличием в пределах поля материалов с различными коэффициентами теплопроводности. Задача значительно упрощается при решении уравнения в конечных разностях. При этом дифференциальное уравнение заменяется системой линейных уравнений, неизвестными в которых будут значения искомой функции в точках поля, лежащих в узлах сетки, составленной из квадратиков со стороной принятого размера Δ (рис. 7).

В конечных разностях уравнение имеет вид:

τ_xx =τ_yy =0,

где τ_xx ,τ_yy - вторые конечные разности функций τ соответственно по x и y.

Выписывая их подробно, получим

(τ_{x+Δ, y} - 2 τ_{x, y} + τ_{x- Δ, y})/ Δ² +(τ_{x, y +}Δ - 2 τ_{x, y} + τ_{x , y - Δ})/ Δ²=0.