Метод итераций

(метод последовательных приближений)

Предположим, что уравнение можно записать в виде

x=φ(x).

Возьмем произвольное значение x_o из области определения функции φ(x) и будем строить последовательность чисел {x_n}, определенных с помощью рекуррентной формулы:

x_n+1 = φ(x_n), n=0, 1, 2, 3, . . .

Последовательность {x_n} называется итерационной. При ее изучении встают два вопроса:

1. Можно ли процесс вычисления чисел x_n продолжать неограниченно, т.е. будут ли числа x_n принадлежать области определения функции φ(x)?

2. Если итерационный процесс бесконечен, то как ведут себя числа x_n при n→ ∞ ?

При определенных ограничениях на функцию φ(x) итерационная последовательность является бесконечной и сходится к корню уравнения:

x_n =c, c= φ(c).

Функция φ(x) удовлетворяет на отрезке [a, b] условию Липшица, если существует такая постоянная α, что для любых x₁ и x₂ , принадлежащих отрезку [a, b] , имеет место неравенство

| φ(x₁)- φ(x₂)| ≤ α | x₁ – x₁ |.

Величину α в этом случае называют постоянной Липшица.

Если функция φ(x) удовлетворяет на отрезке [a, b] условию Липшица, то она непрерывна на этом отрезке.

Пусть x_o - произвольная точка отрезка. Рассмотрим приращение функции φ(x) в этой точке

Δf =f(x_o+ Δx) – f(x_o).

Оценим его с помощью неравенства

| Δf|| ≤ α |Δ x|_.

Таким образом, lim Δf =0, что означает непрерывность функции.

Условие Липшица имеет простой геометрический смысл. Возьмем на графике функции y= f(x) две произвольные точки: М₁ с координатами (x₁, f(x₁)) и М₂ с координатами (x₂, f(x₂)) (рис.3) . Напишем уравнение прямой линии, проходящей через эти точки. Оно имеет вид

y=f(x₁)+k(x-x₁),

где k – тангенс угла наклона прямой к оси x –определяется по формуле

k = (f(x₁)- f(x₂))/(x₁ –x₂).

Если функция f(x) удовлетворяет на отрезке [a, b] условию Липшица, то при произвольном выборе точек М₁ и М₂ будем иметь: |k|≤α. Таким образом, с геометрической точки зрения условие Липшица означает ограниченность тангенса угла наклона секущих, проведенных через всевозможные пары точек графика функции y= f(x).

Рис.3. Геометрическая иллюстрация условий Липшица

Сделаем следующий шаг – предположим, что функция f(x) имеет на отрезке [a, b] ограниченную производную: |f’(x)|≤m при x[a, b] . Можно доказать, что в этом случае она удовлетворяет условию Липшица с постоянной α=m. Данное уравнение также имеет простой геометрический смысл- каждой секущей графика функции y= f(x) можно сопоставить параллельную ей касательную (рис. 4). Поэтому наибольший тангенс угла наклона секущих не превосходит наибольшего тангенса угла наклона касательных, и его можно оценить той же константой m : |k|≤m. Таким образом, любая функция f(x) с ограниченной производной обязательно удовлетворяет условию Липшица.

Рис. 4. Геометрическая иллюстрация связи условия Липшица с предположением о дифференцируемости функции f(x)

Сходимость итерационной последовательности к корню уравнения может быть использована для приближенного определения этого корня с любой степенью точности. Для этого нужно только провести достаточное число итераций.

Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего данный метод, уравнение (10). Его можно представить в следующем виде

t_в =45^.((82,5- t_в)/70)^1,4 -20

Роль функции φ(x) в нем играет 45^.((82,5- t_в)/70)^1,4 -20 . Это – дифференцируемая функция, которая имеет производную на отрезке [10, 25]. /φ’(x)/ =0,9((82,5-t_в )/70)^0,4 ≤ 0,9((82,5-10 )/70)^0,4

Таким образом, функция удовлетворяет на отрезке [10, 25] условию Липшица с постоянной α=0,9((82,5-10 )/70)^0,4 <0,912722.

Результаты вычислений по рекуррентной формуле, которая в нашем случае принимает вид x_n+1 =45^.((82,5-x_n)/70)^1,4 -20, даны в табл.2. За нулевое приближение была выбрана средняя точка отрезка x_o =17,5.

Для удобства анализа итерационной последовательности ее члены расположены по два в строке. В результате образовались столбцы членов с четными и нечетными номерами. Сравнивая их между собой, видим, что четные члены меньше нечетных: итерационная последовательность скачет то вверх, то вниз. С возрастанием номера четные члены возрастают, а нечетные – убывают, приближаясь друг к другу. Такое поведение последовательности означает, что корень уравнения лежит между четными и нечетными итерациями, первые дают его значение с недостатком, вторые - с избытком. Это позволяет легко контролировать точность, достигнутую после любого числа итераций: погрешность не превышает разности между последними вычислениями нечетным и четным членами.

Таблица 2

n	X2n	X2n+1
0	17,5	20,56523134
1	17,91260145	20,20519447
2	18,22150871	19,93624264
3	18,45273279	19,73526403
4	18,62577857	19,58504337
5	18,75526581	19,47274218
6	18,85214805	19,38877819
7	18,92462892	19,3259953
8	18,97885068	19,27904717
9	19,01941101	19,24393831
10	19,04975081	19,21768218
11	19,0724448	19,19804602
12	19,08941941	19,18336044
13	19,10211583	19,17237717
14	19,11161219	19,16416274

Мы остановили процесс вычисления на 29-й итерации и можем написать для корня с двойное неравенство:

x₂₈ =19,11161219<c< x₂₉ =19,16416274,

т.е. члены итерационной последовательности x₂₈ и x₂₉ определяют с с недостатком и избытком с погрешностью которая не превышает разность x₂₈ - x₂₉ :

ε<Δ₂₉ = x₂₈ - x₂₉ <0,05.

Точность, которой мы достигли после 29 итераций, оказалась несколько ниже, чем после 9 шагов в методе вилки. Причина такого различия ясна. В обоих методах погрешность убывает по закону геометрической прогрессии. Для метода вилки знаменатель прогрессии равен ½ , он не зависит от вида функции f(x). Для метода итераций знаменатель равен α – постоянная Липшица функции φ(x). В рассматриваемом примере α>1/2 , поэтому сходимость итераций медленнее сходимости метода вилки. Это означает, что метод итераций имеет преимущество перед методом вилки с точке зрения скорости сходимости только в том случае, когда α<1/2.