Качественное исследование уравнений

При решении уравнений важно знать заранее, имеет ли оно корни, и если имеет, то где они примерно располагаются.

На рис. 2 изображен график некоторой функции f(x), непрерывной на отрезке [0,1] и принимающей на концах отрезка значение разных знаков:

f(0)0, f(1)0.

Рис.2. Пример функции f(x), непрерывной на отрезке [0,1] и принимающей на концах отрезка значение разных знаков

График является непрерывной функцией, которую можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Линия должна перейти из нижней полуплоскости Y0 и верхнюю Y0. При этом она не должна «перепрыгнуть» через ось X , а должна ее обязательно пересечь в некоторой точке X=c .В этой точке функция f(x) обращается в нуль, т.е. с является корнем уравнения (2).

Теорема о существовании корня у непрерывной функции

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует по крайне мере корень уравнения (2).

В качестве примера обратимся к уравнению (1), которое предварительно перепишем в виде

f(x)=x-cos(x)=0.

Функция f(x=x-cos(x) непрерывна на отрезке [0,1], а ее значения на концах отрезка имеют разные знаки:

f(0)=-10, f(1)=1-cos(1) 0.

Отсюда сразу следует существование на отрезке [0,1] по крайней мере одного корня уравнения (1). Ранее к этому выводу пришли с помощью наглядных, но математически нестрогих геометрических соображений. Теперь этот вывод – прямое следствие сформулированной теоремы. Она не позволяет определить общего числа корней. Однако в данном случае это легко сделать с помощью дополнительных исследований.

Вычислим производную функцию f(x):

f(x)’=1+sin(x).

В интересующей нас области измерения переменной x: x[0,1] она положительна. Следовательно, функция f(x) на отрезке [0,1] монотонно возрастает и может иметь только один корень.

Метод вилки

В основе метода лежит одно из самых простых и эффективных алгоритмов решения уравнения. Его основу составляет процесс построения по методу «артиллерийской вилки» последовательности вложенных друг в друга отрезков [a_n, b_n]. Их концы образуют две монотонные последовательности, одна из которых { a_n, } («недолеты») сходятся к некоторой точке x=c снизу (a_nс), вторая { b_n, } («перелеты») – сверху (b_nс). При выполнении условий теоремы, сформулированной выше, доказывается, что предельная точка x=c является корнем уравнения. Тем самым оказывается установленным факт существования решения этого уравнения на отрезке [a, b]. Сам процесс построения последовательности вложенных отрезков [a_n, b_n], содержащих искомый корень x=c, позволяет найти его приближенное значение с любой точностью ε .

Описание метода

Предположим для определенности, что функция f(x) принимает на левом конце отрезка [a, b] отрицательное значение, на правом – положительное:

f(a)0, f(b)0.

Возьмем среднюю точку отрезка [a, b] ξ= (a+b)/2 и вычислим в ней значение функции f(x) . Если f(x)=0, то утверждение теоремы доказано: мы нашли на отрезке [a, b] точку с= ξ, в которой наша функция обращается в нуль. В противном случае, когда f(x)≠0, поступим следующим образом: рассмотрим два отрезка [a, ξ] и [b, ξ] и выберем один из них, исходя из условия, чтобы функция f(x) принимала на его концах значения разных знаков. Выбранный отрезок обозначим [a₁, b₁] . По построению

f(a₁) < 0, f(b₁) >0.

Возьмем среднюю точку отрезка [a₁, b₁] ξ₁= (a₁+b₁)/2 и опять вычислим в ней значение функции f(ξ₁). Если f(ξ₁)=0, то доказательство теоремы закончено. В противном случае f(x)≠0, снова рассмотрим два отрезка [a₁, ξ], [b₁, ξ] и выберем тот из них, на концах которого функция f(x) принимает значение разных знаков. Выбранный отрезок обозначим [a₂, b₂]. По построению

f(a₂) < 0, f(b₂) >0.

Будем продолжать этот процесс. В результате либо он оборвется на некотором шаге n благодаря тому, что f(ξ_n)=0, либо будет продолжаться неограниченно. В первом случае вопрос о существовании корня уравнения решен. Рассмотрим второй случай.

Неограниченное продолжение процесса дает последовательность отрезков [a, b], [a₁, b₁], [a₂, b₂], . . . Эти отрезки вложены друг в друга: каждый последующий отрезок принадлежит всем предыдущим:

a_n ≤ a_n+1<b_n+1 ≤b_n (3)

причем

f(a_n) < 0, f(b_n) >0.

Длины отрезков с возрастанием номера n стремятся к нулю:

(b_n-a_n)= (b-a)/2ⁿ =0.

Рассмотрим левые концы отрезков {a_n}. Они образуют монотонную неубывающую ограниченную последовательность. Такая последовательность имеет предел, который мы обозначим через с₁ :

a_n = c₁

Согласно лемме о переходе к пределу в неравенствах, имеем

C₁ ≤ b_n (4)

Теперь рассмотрим правые концы отрезков {b_n}. Они образуют монотонную не возрастающую ограниченную последовательность, которая тоже имеет предел. Обозначим этот предел через с₂ :

b_n =c₂

Согласно неравенству (4) и лемме, эти пределы удовлетворяют неравенству c₁ ≤ c₂ .

Итак, a_n ≤ c₁ ≤ c₂ ≤ b_n

и, следовательно, c₂ –c₁ ≤ b_n – a_n =(b-a)/2ⁿ

Таким образом, разность с₂ – с₁ меньше любого наперед заданного положительного числа. Это означает, что с₂ – с₁=0, т.е. с₂ = с₁=с

Найденная точка интересна тем, что она является единственной общей точкой для всех отрезков построенной последовательности. Используя непрерывность функции f(x) , докажем, что она является корнем уравнения.

Мы знаем, что f(a_n) ≤ 0. Согласно определению непрерывности и возможности предельного перехода в неравенствах имеем

f(c)= f(a_n) ≤ 0 (5)

Аналогично, учитывая, что f(b_n) ≥ 0., получаем

f(c)= f(b_n) ≥ 0., . (6)

Из (5) и (6) следует, что

f(c)= 0,

т.е. с – корень уравнения. Теорема доказана.

Процесс построения последовательности вложенных стягивающих отрезков методом вилки является эффективным вычислительным алгоритмом решения уравнения. На n-м шаге процесса получаем a_n ≤ c.

Это двойное неравенство показывает, что число a_n определяет искомый корень с с недостатком, а число b_n – с избытком, с ошибкой , не превышающей длину отрезка ∆_n = b_n – a_n = (b-a)/2ⁿ . При увеличении n ошибка стремится к нулю по закону геометрической прогрессии со знаменателем q=1/2 . Если задана необходимая точность ε (ε>0) , то чтобы ее достигнуть, достаточно сделать число шагов N, удовлетворяющее условию:

N>log₂ ((b-a)/ ε ).

Пример. Рассмотрим отапливаемое помещение, которое имеет наружные ограждения площадью F = 50 м² , сопротивление теплопередачи составляет R=2,5 м^{2 о}С/Вт. В помещении установлен отопительный прибор, поверхность которого составляет А=1,5 м² , температура подающей воды t_г =95 ^оС, а обратной t_об =70 ^оС.

Требуется определить температуру внутреннего воздуха t_в , при температуре наружного воздуха t_н = –20 ^оС ?

Для решения поставленной задачи составим уравнение, характеризующее баланс тепловой энергии в помещении.

Потери теплоты через ограждающие конструкции могут быть определены по следующей формуле:

q_т.п. =(t_в – t_н)F/R (7)

Поступление теплоты от нагревательных приборов может быть определено по следующей формуле:

q_пр = А q_ном (Δt_ср. /70)¹⁺ⁿ (8)

где q_ном – номинальный тепловой поток от отопительного прибора, Вт/м² (q_ном=600 Вт/м²);

Δt_ср.= 0,5(t_г + t_об) –t_в ;

n – коэффициент характеризующий теплоотдачу отопительного прибора (n=0,4) .

Приравниваем формулы (7) и (8)

(t_в – t_н)F/R= А q_ном (Δt_ср. /70)¹⁺ⁿ. (9)

После подстановки известных величин формула приобретет вид

(t_в +20)50/2,5 =1,5•600•((82,5- t_в)/70)^1,4 (10)

Решение данного уравнения для определения температуры внутреннего воздуха (t_в) в общим виде представляет определенные затруднения, поэтому воспользуемся методом «вилки». Для этого выполним преобразования. Перенесем все члены уравнения в левую часть

(t_в +20)50/2,5 – 1,5^.600((82,5- t_в)/70)^1,4 =0.

Предварительный анализ свидетельствует, что данная функция неразрывна и может приобретать положительные и отрицательные значения.

Определим диапазон, на котором будем искать значение корня. При значении t_в =5 ^oC значение функции f(10)=-345,3191649. При значении t_в =25 ^oC,значение функции f(25)=216,6546618. Можно утверждать, что на концах отрезка [10, 25] функция будет приобретать противоположные знаки, т.е. корень уравнения будет находиться на данном отрезке. Вычисление выполним в табличной форме(табл.1).

Таблица 1

N	an	bn	ξ= (a+b)/2	f(ξn)
0	10	25	17,5	-61,30462678
1	17,5	25	21,25	78,45879455
2	17,5	21,5	19,5	13,42747243
3	17,5	19,5	18,5	-23,88430668
4	18,5	19,5	19	-5,214785699
5	19	19,5	19,25	4,109759286
6	19	19,25	19,125	-0,551660239
7	19,125	19,25	19,1875	1,779262892
8	19,125	19,1875	19,15625	0,613854653
9	19,125	19,15625	19,140625	0,031110536

Результаты расчетов, связанных с девятикратным делением исходного отрезка [10, 25] пополам даны в табл.1. Они определяют корень с с точностью ε< (25-10)/2⁹ <0,029297.

Можно утверждать, что искомый корень уравнения принадлежит отрезку [19,125, 19,15625].