VIII. Непараметрические критерии

Непараметрические критерии используются преимущественно в тех случаях, когда изучаемое явление отличается от нормального рас­пределения. С одной стороны, они позволяют оценить характер, тен­денцию явления (увеличение, уменьшение, без перемен), хотя, с дру­гой, большинство из них обладает достаточно высокой статистиче­ской мощностью (чувствительностью). Особенно эффективно приме­нение непараметрических критериев при малых выборках (« < 30), при изучении качественных признаков. Преимуществом большинства не­параметрических критериев является сравнительная простота расче­тов.

Основные направления применения непараметрических критери­ев:

1. Для характеристики одной совокупности:

- критерий итераций (флуктуаций);

- медиана,квартели.

2. Для оценки связи между явлениями:

- коэффициент ранговой корреляции (Спирмена);

- коэффициент корреляции рангов (Кэндела);

- показатель соответствия у} (хи-квадрат).

3. Для оценки различий двух сравниваемых совокупи остей. При этом следует выделять несколько вариантов:

1. Для сравнения количественных признаков:

2.

Две выборки		Несколько выборок
А	Б	В	Г
независимые	зависимые	независимые	зависимые
Критерий Лорда (U) Критерий Вилконсона-Манна-Уитни (U) Критерий Мостселлера	Ранговый крите­рий Вилконсона (Т) Критерий знаков (Z)	Сравнение вы­борок по Немени	Критерий Фридмана Критерий Вил-консона-Вилконс
Критерий Розенбаума (Q)	Максимум кри­
Критерий Уайта (К) Серийный критерий Вальда-Вольровича (S)	терий для разно­сти пар
Критерий Колмогорова-Смирнова

2. Для сравнения качественных признаков:

————- Дв< выбо ———А-—	рки	Нескольк Ж:	о выборок
независимые Критерий Стьюдента с поправками Йетса Критерий согласия <^2) Точный метод Фишера (X2) Критерий Ван-дер-Вардена. (X)	Е зависимые Критерии Макни-Мара	независимые Критерий ()с2) по Р.Руниони	3 зависимые Критерий Кокрена (Q)

Характеристика одной совокупности

Критерий итераций (флуктуаций). Применяется когда п>10.

Схема вычисления критерия итераций.

Допустим, необходимо проверить у одного больного содержание альбуминов в плазме крови, для чего было сделано последовательно 10 исследований:

'• - - + - - +

Приведенные данные указывают на колеблемость содержания альбуминов. Необходимо определить характер этих колебаний - су­щественны или несущественны. Для этого: 1. принимается нулевая гипотеза - колебания содержания альбуминов в плазме крови у боль­ного носят случайный характер.

2. Данные изменения альбумина вновь выписываются по степени возрастания для того, чтобы определить срединное значение резуль­татов исследования (Me).

Определяем место Me -- ⁿ^^\- = ¹⁰⁺¹ = 5.6

49.8; 50.9; 51.1; 51.2; 51.3; 51.3; 51.5; 51.5; 52.2; 52.4. Место Me оказалось между величинами 51.3 и 51.3. Чтобы опреде­лить размер Me надо получить полусумму измерений, между которы­ми находится ее место. Me = =(5].3+5].3)/2 = 51.3.

3. В ряду фактически приведенных исследований разность между значением Me и каждым измерением обозначается знаком «+» или «-» Если встречаются величины, равные Me, и допустим первой уже

г •'\

поставлен «+», то второй ставится «-», третьей «+» и т.д. или наобо­рот.

4. Подсчитываются серии одинаковых знаков. В нашем пример( их 6 (R = 6). Полученный результат сравниваем с табличным. Есл^ величина R в пределах табличного значения (от-до) - нулевая гипоте­за принимается. Если R меньше или больше табличной - нулевая ги­потеза отвергается (приложение № 4). Табличное значение R находит­ся на пересечении строки /^ - число вариант больших по величине чем Me (в нашем примере их 5) и графы Пу - число вариант меньшие чем Me (их тоже 5). Табличное значение R на пересечении чисел 5 рав но 3/9. Рассчитанное значение R = 6 находится в пределах табличного значения R. Следовательно, нулевая гипотеза принимается. Колеба ния измерений альбуминов в плазме крови носят случайный характер и их различия несущественны.

Медиана применяется в случаях, когда неизвестен тип распределе ния либо оно отличается от нормального (а также в случаях, когдг нельзя вычислить среднюю арифметическую). При нечетном числе наблюдений медианой будет являться варианта, расположенная точнс в середине ряда; при четном - ее величина определяется как полусум­ма двух вариант, расположенных в середине ряда. Порядковый номе]:

медианы в ряду определяется по формуле "±1 (п - общее число на-

2 блюдений).

После определения местоположения медианы каждая из двух по­ловин ряда также может быть разделена пополам путем нахождение квартилей Q (нижней Q„ и верхней (?„). Порядковый номер квартиле? определяется по формулам:

. п+\ 3(п+\) ^--^-' «а——4

При получении дробного числа его округляют до целого.

№ п/п	варианта	№п/п	варианта	№ п/п	варианта
1	171	11	210	21	250
2	174	12	212	22	252
3	180	13	216	23	270
4	180	14	216	24	276
5	180	15	220	25	288
6	183	16	224	26	294
7	189	17	225	27	294
8	194	18	225	28	300
9	204	19	230	29'	330
10	206	20	240	30	355

Вычисляем порядковые номера и значения медианы и квартилей-

п., =^/м-i-^зo±l ,сс „. ^5+^.6 220+224

^ 2 ^- 2 ⁼¹⁵-^{5 мe}= 2 ——2——^=222Л^"

я+1 30+1

"а = ^ ⁼ "^ ^{= 7}-^{75 « 8} б"^» У» «^4мг%

(я+1)3 (30+1)3

"а = —4— = --Т— ⁼ 23.25 » 23 fi, ^e ^23 ^» 270мг%

боль^х⁰^^⁰^³""^{6 xoлecтe}P^{инa в K}P^OBИ половины обследованных больных находилось в пределах 194-240 мг%, при медиане 222 мг% и амплитуде ряда 171-355 мг%. нс ^ мг/о и

формул^"""¹'⁰^""⁰'^{1 раду медиана и} ^Р™™ определяются по ^^^^."'^.где

V

Л1 - начальная граница интервала, содержащего медиану (квартиль);

ⁿMv{Q} - порядковый номер медианы (квартили);

(квартиль) ^{накопленная частота)} W"<^W интервалу, содержащему медиану А- - величина интервала;

Р- частота интервала, содержащего медиану (квартиль).

Непараметрические методы изучения связи

Коэффициент корреляции рангов Спирмена - р. Рассмотрим методи-

^^г^⁰ ^Ф"™ ^на "Р^Р⁶ -зи ме^у коТичест-вом эритроцитов и процентом гемоглобина в крови у 8 человек (табл.

Вычисление коэффициента корреляции рангов Спирмена между количеством э^оци^⁸ и процентом гемоглобина в крови

Обсле­дован­ные 1 А. К. Б.	Кол-во эри­троцитов, х 2 1.98 2.50 2.94	Гемогло­бин, в %, у 3 40 47 60	Ранги вариант		Разности ран­гов,	Квадраты разно­стей рангов, (р 7 0 0
			Гх 4 2 3	гу 5 2	d 6 о 0
3. С. И. Ж. Н.	3.25 3.64 3.70 3.86 4.29 n=8	62 74 65 78 74	4 5 6 7 8	3 4 6.5 5 8 6.5	0 о -1.5 +1 -1 +1.5	0 0 2.25 1 2.25
						£d2-6.5

54

1. Располагаем данные обследованных в порядке возрастания ва­риант первого признака (в нашем примере - количества эритроцитов) - графы 1,2 и 3 (таблица 18).

2. Заменяем значения вариант в каждом ряду их рангами (графы 4 и 5). Если встречаются одинаковые варианты, то каждой из них при­сваивается средний ранг. В нашем примере варианта 74% гемоглобина встречается 2 раза, она занимает порядковые места 6 и 7, следователь­но, средний ранг равен:

^

3. Находим разности между смежными рангами сравниваемых ря­дов (графа 6). Сумма этих разностей должна равняться нулю.

4. Возводим разности в квадрат и суммируем их (графа 7).

5. Вычисляем коэффициент корреляции рангов Спирмена по фор­муле:

б2>² ^-^^ ScP - сумма квадратов разностей рангов;

п - число сравниваемых пар. В нашем примере:

--^-S————²³

Таким образом, между числом эритроцитов и содержанием гемо­глобина в крови существует сильная прямая корреляционная связь. Величина коэффициента корреляции рангов Спирмена оценивается также, как величина параметрического коэффициента корреляции.

Оценка надежности коэффициента корреляции рангов Спирмена при числе наблюдений 10 и более производится с помощью критерия / по формуле:

\п-г ^t=p^

Вероятность, соответствующую полученному /, определяем по таблице Стьюдента при числе степеней свободы (п - 2). В тех случаях, когда число наблюдений меньше десяти, оценка значимости произво­дится по таблице 5. Если вычисленный коэффициент корреляции р больше табличного pos, то он значим с вероятностью 95%, если р > poi, то он значим с вероятностью 99%. В нашем примере при п = 8 р > poi (0.92 > 0.833); следовательно, полученный нами коэффициент корре­ляции значим с высокой вероятностью (р < 0.01).

Показатель соответствия (^²) - занимает промежуточное положе­ние: с одной стороны он характеризует наличие связи между явления-

55

ми, с другой - значимость различий между ними. Показатель соответ­ствия ^2 вычисляется с помощью абсолютных величин и указывает на существенную или несущественную разницу между эмпирическими числами, полученными в процессе исследования, и теоретическими ожидаемыми", полученными на основе предположения об отсутствии связи между исследуемыми явлениями, то есть на основе принятия ну­левой гипотезы. Хи-квадрат Ос²) подтверждает наличие связи, но не устанавливает степень связи. Чем больше величина ?с², тем больше . полученный результат отличается от теоретического. Оценка у2 про­изводится по специальной таблице (см. приложение № 6). Число сте­пеней свободы равно произведению числа граф (без итоговой) минус единица на число строк (без итоговой) минус единица:

n'=(S-\)-(r-l). Если значение /² равно или больше табличного, то

нулевая гипотеза отвергается, чем доказана связь, влияние изучаемого явления (фактора). При влиянии большого числа факторов на резуль­тативный признак, ^ вычисляется по формуле:

. ^(Р-РУ~ ;T-Z р -^где

Р - фактически.; величины, Pi - «ожидаемые» величины.

Методику вычисления ^ разберем на следующем примере. Пример расчета критерия у¹:

Изучение влияния сроков операции от момента поступления больных в стационарно поводу ocTDoro япп»ипигм-г.. ..« ,,„^„.... „„..„.^,.„-„. ...„...." __ ^г

Исходы после ' операции		Сроки оп до 24	ерации от 24-48	момента п (час) 48-72	оступлени» более 72	я больных
Умерло (чел.)	фактически «ожидаемые»	12	12	8	14	всего 46
Выздоровело (чел.)	фактически ~ «ожидаемые»	22 1203 1193	15 832 829	5 273 276	4 209 219	46 2517 2517
Всего ——— В том числе % учерших (летальность) Выздоровело в %		1215 0.9 99.1	844 1.4	281 2.8 97.2	223 6.3	2563 1.8
			70.0		93.7	98.2

Из данных таблицы 19 видно, чем позднее сделана операция, тем выше будет послеоперационная летальность. Достоверность такой связи следует доказать критерием х². Для этого: 1) принимаем нуле­вую гипотезу (теоретически отвергаем влияние сроков операции от момента госпитализации больных на частоту летальных исходов) и вычисляем «ожидаемые» (Р,) числа умерших и выздоровевших среди оперированных и выписываем их во второй ряд каждой строки таб-

56

лицы. Вычисление «ожидаемых» чисел (при гипотезе отсутствия влия­ния сроков операции на летальность среди всех групп больных пока­затель летальности был бы равным и составлял «среднюю» величину 1.8%, а % выздоровлений соответственно - 98.2). Умерло:

до 24 час 24-48 час 24-72 час позднее 72 час

на 100-1.8 на 100-1.8 на 100-1.8 на 100-1.8

на 1215-х на 844-х на 281-х на 223 - х

х = 22 х = 15 х = 5 х = 4

Выздоровело:

на 100-98.2 на 100-98.2 на 100-98.2 на 100-98.2

1215-х на 844-х на 281-х на 223-х

х=1193 х=829 х^276 х = 219

2) Вычисление:

, ^-.(Р-Р,)² (12-22)² (12-15)² (8-5)² (14-4)'

у = 7 ——————— = ——————— + ——————— + —————— + ————— +

^{х ZJ} />, 22 15 5 4

(1203-1193)² (832-829)² (273-276)² (209 - 219)^{2 +} 1193 ⁺ 829 ⁺ 276 ⁺ 219 = 4.5 + 0.6 +1.8 + 25.0 + 0.08 + 0.01 + 0.03 + 0.46 = 32.48 Табличное значение ^², при числе степеней свободы

т/ = (4 -1) • (2 -1) = 3, равно 7.8-10.3 . Вычисленный f¹ больше табличного.

Р - Р

'(15 'Ol

Следовательно, нулевая гипотеза отвергается, что позволяет сделать вывод о влиянии на уровни послеоперационной летальности при ост­ром аппендиците сроков операции от момента госпитализации боль­ных.

При альтернативном распределении у} вычисляется при помощи четырехпольной таблицы, при этом общее число наблюдений должно быть не менее 20, а в каждой клетке таблицы не менее 5. Клетки таб­лицы условно обозначаются буквами.

Пример расчета '/^! при альтернативном распределении:

Изучение побочных явлений при лечении антибиотиками с применением и без поименения витаминов

Действие антибиотиков	Побочные явления			Процент побочных яв­лении
	есть	нет	всего
С применением витаминов	а 9	b 57	a+b 66	13.0
Без применения витаминов	с 16	d 29	c+d 45	35.5
Итого	25 а + с	86 b+d	111 a + b + с + d	22.5

57

Из данных таблицы видно, что процент побочных явлений в группе, где применялись витамины, меньше, чем в группе, где они не применялись. Условно отвергая влияние витаминов на снижение по­бочных явлений от действия антибиотиков, у² вычисляется по (ьорму-ле: ^т ' -

2 ^ ____(ad-cb^-n____ ^ (9-29-16-57)²

(a+c)-(b+d)-(a+b)-(c+d) 25-86-66.45 ~ ⁷'³ Рассчитанный y² больше табличного, который при числе степеней

свободы г!'= (2-1)(2-1) = 1, равен ³-⁸"⁶-⁶ . Это дает право отвергнуть

"OS ~ -Ч)!

нулевую гипотезу и считать доказанным влияние витаминов на сни­жение побочных явлений при применении антибиотиков.

Когда общее число наблюдений более 20, а в клетках может быть число менее 5, ^² вычисляется по формуле с поправкой Иейтса:

2 _ [ad -cb- 0.5(a 4- b + с + d^N ^/ ~ (a+c)-(b+cf)-(a+b)-(c+d)

Оценка^результата производится по той же таблице (приложение 6). Если y² = ^то5² - нулевая гипотеза отвергается, если у² < уто5² - ну­левая гипотеза принимается.

Если число наблюдений меньше 20, а в клетках таблицы может

встретиться число меньше 3, у2(Р) рассчитывается по формуле Фише­ра:

(a+b)l(c+d)\(a+c)\(b+d)[

' ~ N\a\b\c\d\

Знак восклицания (!) называется факториалом и означает произ­ведение чисел от единицы до конца числа N, а и т.д., то есть - 1 • 2 • 3 • 4... и последнее значение N. Оценка критерия Р производится анало­гично критерию у2, рассчитанному по предыдущей методике.

Коэффициент корреляции рангов Кэндела - может быть рекомен­дован для применения в углубленных исследованиях, так как крите­рии оценки значимости этого коэффициента теоретически более обос­нованы. Вычисление коэффициента Кэндела более сложно, чем вы­числение р, однако в отдельных случаях этот критерий имеет опреде­ленные преимущества. В частности, после добавления к уже ранжиро-^ванным Рядам новой пары наблюдений проще вычислить именно ко­эффициент корреляции Кэндела, так как это не потребует переранжи­ровки рядов.

Для вычисления коэффициента Кэндела необходимо получить два ряда рангов. Степень соответствия между этими рядами характеризу­ется величиной S, представляющей собой сумму двух компонентов R и

58

Чтобы вычислить величину R, необходимо для второго ряда (когда первый ряд ранжирован строго в порядке возрастания вари­ант) определить число последующих рангов, больших по своей вели­чине, чем взятый ранг. Величина R является суммой этих чисел и представляет собой положительный показатель соответствия между сравниваемыми рядами рангов.

Чтобы вычислить величину Q, необходимо для каждого ранга второго ряда определить число последующих рангов, меньших по своей величине, чем взятый ранг. Величина Q - сумма этих чисел -является отрицательным показателем соответствия между рядами рангов и берется со знаком минус.

Когда имеется значительное число объединенных рангов, коэффи­циент Кэндела вычисляется по формуле:

^ , где

\^^nl~ⁿ П^^"- П~\ у(_^-_^)(-^-_^)

// //у \ ^ .4-' ^\ —• , a t - численность группы объединенных рангов.

Л'^~ У ')

Рассмотрим определение коэффициента корреляции рангов (т) с учетом объединенных рангов на следующем примере (табл. 20).

Таблица 20

Определение силы связи между количеством эритроцитов (млн.) и гликолитическим методом (ранжирование по ряду х)

Эритроциты		Гликолитичес-	Ранг		Разность	Разность в
		кий индекс				квадрате
(X)		(У)	X	У	(У-Х)	(У-х)2
2.90		7.2	1	3	+2	4
2.27		6.6	2	4	+2	4
	.98	13.4	3	1	-2	4
	.81	7.4	4	2	-2	4
	.80	5.8	5	6	+1	1
	.38	6.4	6	5	j	1
	.27 .	2.8	7	8.5	+1.5	2.25
	.20	5.0	8	7	-1	1
0.83		2.8	9	8.5	-0.5	0.25

По данным, приведенным в таблице, вычисляем:

R=6+5+6+5+3+3+0+1=29 Q=(-2)+(-2)+(0)+(-1)+(0)+(-1)+0=-6 S=29+(-6)=23 U.=0

59

U 2-(2-1) Uy- 2 -«

²³ ^-^О^ 81-9 81-9 . V36-35 ^-2——0).(-^——1)

Полученное значение гпри n=9nS=23 можно признать сущест­венным с вероятностью ошибки Р < 0.012 (приложение № 7).

« 4 *

А. Оценка достоверности различий

Рассмотрим некоторые, наиболее часто применяемые непарамет­рические критерии, для оценки достоверности различий.