V. Средние величины

В медицине в здравоохранении очень часто используются выра­жаемые числами признаки, которые могут принимать различные, чи­словые значения у разных единиц совокупности, нередко повторяю­щиеся у нескольких единиц. В каждой данной совокупности и в дан­ных конкретных условиях этот признак характеризуется определен­ной величиной (уровнем), которая отличается от величины этого при­знака в другой совокупности, при наличии других условии. Пульс, АД, температура тела, длительность временной нетрудоспособности, длительность пребывания в стационаре отличаются (варьируют) у

больных даже с одним диагнозом.

Величины изучаемого признака могут принимать либо дискрет­ные (прерывные), либо непрерывные числовые значения. Примеры дискретных величин, при которых значения выражены целыми числа­ми: число детей в семье, число больных в палате, число койко-днеи, число каких-либо медицинских аппаратов в учреждении, пульс. При­меры непрерывно изменяющихся величин, когда значения выражены дробными величинами, могут постепенно переходить одно в другое:

рост, масса тела, температура, АД.

Полученные при исследовании величины сначала записывают хаотично то есть в том порядке, как их получает исследователь. Ряд, в котором упорядоченно сопоставлены (по степени возрастания или убывания) варианты и соответствующие им частоты, называется ва­риационным. Отдельные количественные выражения признака назы­ваются вариантами (V), а числа, показывающие, как часто эти вари­анты повторяются, - частотами (Р).

Для обобщенной числовой характеристики изучаемого признака у совокупности обследуемых рассчитываются средние величины, досто­инство которых-заключается в том, что одна величина характеризует большую совокупность однородных явлении. - Различают несколько видов средних величин: средняя арифмети­ческая, средняя геометрическая, средняя гармоническая, средняя про­грессивная, средняя хронологическая. Кроме указанных средних, ино­гда в качестве обобщающих величин вариационного ряда используют особые средние относительного характера - моду и медиану.

Мода (Мо) - наиболее часто повторяющаяся варианта. Медиана (Me) - значение варианты, делящей вариационный ряд пополам; по обе стороны от нее находится равное число вариант.

Наиболее часто используется средняя арифметическая. Средняя арифметическая, которая рассчитана в вариационном ряду, где каж­дая варианта встречается только один раз (или все варианты встреча-

28

ются с одинаковой частотой) называется средней арифметической про­стой. Она определяется по формуле:

.. ^^v

М = —— • где И

М ~ средняя арифметическая;

V - значение вариационного признака;

п - общее число наблюдений.

Если в исследуемом ряду одна или несколько вариант повторяют­ся, то вычисляют среднюю арифметическую взвешенную. При этом учитывается вес каждой варианты и чем большую частоту имеет дан­ная варианта, тем больше будет ее влияние на среднюю арифметиче­скую. Расчет такой средней производится по формуле:

м ^'^р

М = ————— , где

П п - сумма частот

Пример составления вариационного ряда и расчета основных его характеристик представлен в таблице 8.

Таблица 8

Определение среднего срока пребывания больных в специализированном отделении больницы

Число	Число	Начетный ряд	Произве­	Отклоне­	Квадрат	Произведение
дней,	боль­	для определе­	дения ва­	ния вари­	отклоне­	квадратов от­
	ных,	ния места	риант на	ант от	ний,	клонений на
			их частоты	средней,		частоты,
V	Р	Me	v.p	d=V-M	d2	d2?
16	1	1	16	-4	16	16
17	7	8	119	-3	9	63
18	8	16	144	-2	4	. 32
19	16	32	304	-1	1	16
20	29	61	580	0	0	0
21	20	81	420	1	1	20
22	7	88	154	2	4	28
23	5	93	115	3	9	45
24	2	95	48	4	16	32

п=95 £=1900 £=252

1900 hd^-P /252

М=——=10.0лн ^^————= ±j-q-= ±1.63 дн.

При большом количестве наблюдений число встречающихся раз­меров вариант может быть очень большим; тогда рекомендуется раз­меры вариант объединять в группы, причем каждая группа должна иметь равное число значений вариант (иметь равный интервал). Рас­чет средней арифметической в таком сгруппированном или интер­вальном ряду требует предварительного определения середины интер­вала. Середина интервала в непрерывных вариационных рядах опре-

29

деляется как полусумма первых значений соседних групп. Середина интервала в дискретных вариационных рядах определяется как полу­сумма крайних значений группы (табл. 9).

Т а бли ц а 9 Определение среднего роста 14-летних девочек

Рост девочек Центральная вариан-V Vi	Р	ViP
133.0-136.9 133.0+137.0	3	135-3=405
^ -135 137.0-140.9 137.0+141.0 ,,	15	......2085
2 - =139 1410-144.9 =143	17	7431
1450-1489 = 147	41	...... £-~vJ 1 ......6027
1490-1529 =151	52	7й^'7 ...... IQJL
153.0-1569 =155	42	......6510
1570-160.9 =159	18	......2862
1610-164.9 .... =163	5	01 С ......61 J
1650-168.9 165.0+169.0 ,	4	......668
2 =167

•S.V.P 29655

^———-liT-¹⁵⁰-⁵⁰"

Средняя арифметическая имеет ряд свойств, которые используют­ся в некоторых случаях для упрощения расчета средней.

1. Алгебраическая сумма отклонений всех вариант от средней рав­на нулю. На этом свойстве основан расчет средней по способу момен­тов.

2. Если к каждой варианте вариационного ряда прибавить или от­нять одно и то же число, то на столько же увеличится или уменьшится средняя арифметическая величина.

3. Если каждую варианту разделить или умножить на одно и то же число, то во столько же раз уменьшится или увеличится средняя арифметическая.

Эти свойства используют в тех случаях, когда варианты представ­лены очень малыми или, наоборот большими числами.

В здравоохранении в отдельных случаях может потребоваться расчет средней прогрессивной. Средняя прогрессивная рассчитывается из лучших вариант, вариант, положительно характеризующих явле­ние. Они могут иметь значение больше полученной средней арифме­тической (процент совпадения диагнозов, число больных, состоящих под диспансерным наблюдением, охват профилактическими осмотра­ми и т.д.) и меньше (уровень летальности, младенческой смертности,

заболеваемости с временной нетрудоспособностью, частота послеопе­рационных осложнений и т.д.).

Вычисление средней прогрессивной длительности пребывания больных в терапевтических отделениях стационаров.

	*.
Средняя длительность (в днях), V 12 13 14 15	Число стационаров,Р	V.P
	2 3 5	12 26 42 75
16 17 18 19	4 3 2 1	64 51 36 19
	п= 1	325

м = .525/21 = 15.47 дней, но в 11 стационарах уровень, средней дли­тельности пребывания больных в стационаре ниже, то есть более бла­гоприятный, чем в среднем по всем больницам. Рассчитанная в этих 11 стационарах новая средняя и будет средней прогрессивкой: Мпр -'= 155/11 = 14.09 дней. Такая средняя, определенная среди оптимальных условий, будет служить ориентиром для других (10) стационаров.

Средняя среди показателей. При одинаковых числах наблюдений ее можно рассчитать, как среднюю простую: то есть достаточно сум­мировать размеры показателей и затем поделить на их число. Но при разных числах наблюдений среднюю величину среди показателей сле­дует определять всегда как среднюю взвешенную. Например, в трех отделениях стационаров летальность составила:

- хирургическое отделение - 1%;

- терапевтическое отделение - 3%;

- неврологическое отделение - 5%.

Если суммировать показатели и разделить сумму на число отделе­ний, то средний уровень летальности составит У/о. Однако в хирурги­ческом отделении пролечилось 800 больных (умерло 8 человек), в те­рапевтическом 600 больных (умерло 18 больных), а в неврологиче­ском пролечено 200 (умерло 10 больных). Таким образом, средняя ле­тальность по больнице составляет 2,25 (36 х 100 : 1600). Разница ока­залась заметной, чтобы определить средний показатель, надо узнать абсолютное число умерших в каждом отделении, получить сумму умерших, разделить ее на общую численность пролеченных больных и выразить полученную величину в соответствующих единицах (%, %о и т.д.).

Средняя величина абстрактна, она может быть рассчитана в принципе из любой совокупности, например, можно получать сред­нюю арифметическую в группе больных с повышенным и понижен-

31

ным АД. Но такая средняя будет огульной, она не будет правильно характеризовать совокупность, из которой рассчитана. Средние необ­ходимо рассчитывать из однородных совокупностей.

Средняя арифметическая величина находится в большой зависи­мости от колеблемости вариационного ряда. чем меньше колебле­мость ряда, то есть чем меньше амплитуда колебания ряда (разность между самой большой и самой малой вариантой, что называется сте­пенью рассеяния ряда), тем более точно его будет характеризовать средняя арифметическая.

Если большинство вариант концентрируются около своей средней арифметической величины, то такой вариационный ряд - довольно компактный, однородный, можно говорить о малом варьировании. Если же варианты значительно удалены от своей средней арифметиче­ской - налицо большое варьирование, а возможно, и неоднородная совокупность,

Степень варьирования вариационного ряда определяется с помо­щью вычисления среднего квадратического отклонения (ст). Для вы­числения сигмы необходимо (табл. 8) определить отклонения (d) каж­дой варианты от средней, возвести их в квадрат (d²), перемножить квадрат отклонения на частоту каждой варианты (d²?), получить сум­му этих произведений (Sd²?), а затем вычислить сигму по формуле:

1 . \^P

Г" ^^л——

g..U. V п

Is При малом числе наблюдений (п < 30) расчет производят по сле­дующей формуле: '

и ' 1^р " О- = ±л———-

t- V п-\ ^ Описанный способ расчета среднего квадратического отклонения требует значительной вычислительной работы. Можно использовать приближенный способ вычисления среднего квадратического откло­нения по амплитуде (размаху) вариационного ряда. Вычисление ст по амплитуде производится по формуле:

V -V

0-=± ^тах , "'".где

А

• А - коэффициент для определения сг, соответствующий числу наблюдений (приложение 1).

fe" ^ ^Л 1 (,

J:^ В нашем примере о- = ±—^:— = ±1.61 W. Ц .:'*?' ' 4.94

1 Для оценки варьирования признака наряду со средним квадрати-ческим отклонением может быть использован коэффициент вариации (С). Особенно необходимо использовать коэффициент "вариации при

сравнении колеблемости двух или более средних величин, выражен­ных в разных единицах измерения:

^c=^f•^m М

В нашем примере С=-———=8.15%. Значение коэффициента

вариации менее 10% сридетельствует о малой колеблемости, от 10 до 20% - о средней, от 20% и более - о сильной колеблемости вариант вокруг средней.

Значение среднего квадратического отклонения - ст.

1. ст характеризует однородность вариационного ряда. Если ст ма­ла, значит ряд однородный, и рассчитанная М достаточно верно ха­рактеризует данный вариационный ряд. Если ст велика, то ряд неод­нородный, наблюдается большая колеблемость вариационного ряда, и полученная М характеризует не весь ряд, а только какую-то его часть.

2. В медицине, здравоохранении интервал М ± 1ст обычно прини­мают за пределы нормы.

3. С помощью ст оценивается «выскакивающий» результат по

формуле: •<"•" ~ ^м . Если отношение разности между выделяющейся

<7

(«выскакивающей») вариантой и средней арифметической, рассчитан­ной без нее, к среднему квадратическому отклонению, рассчитанному также без выделяющейся варианты, будет равно 3 и более, то такую варианту лучше не включать в исследование.

4. Теоретическое распределение вариант в однородном вариаци­онном ряду подчиняется правилу трех сигм, которое графически изо­бражается кривой Гаусса* (см. рис. 1).

-36 -26 -16 'x +16 +26 +36

М ± 1ст = 68,3% М ± 2ст = 95,5% М ± Зет = 99,7%

Рис. 1. Теоретическая кривая нормального распределения.

В природе возможны и другие виды распределения, отличающиеся от нормаль­ного: альтернативное, асимметричное (правостороннее, левостороннее), бимодальное.

33

Если к средней арифметической величине прибавить и отнять от нее одну сигму (М ± 1ст), то при нормальном распределении в этих пределах будет находиться не менее 68,3% всех вариант (наблюдений), что считается нормой для изучаемого явления. Если к М ± 2ст, то в этих пределах будет находиться 95,5% всех наблюдений, а если к М ± За, то в этих пределах будет находиться 99,7% всех наблюдений. Та­ким образом, среднее квадратическое отклонение является стандарт­ным отклонением, позволяющим предвидеть вероятность появления такого значения изучаемого признака, которое находится в пределах заданных границ.

Выборочный) метод. Оценка достоверности средних арифметических и относительных величин

При изучении сплошной (генеральной) совокупности для ее чи­словой характеристики достаточно рассчитать М и ст.

На практике, как правило, мы имеем дело не с генеральной, а с выборочной совокупностью.

Для выборочного метода очень важен способ отбора части от це­лого, так как отобранная часть, как уже упоминалось ранее, должна быть репрезентативной.

При выборке возможны ошибки смещения, то есть такие события, появление которых не может быть точно предсказуемым. Вместе с тем они являются закономерными, объективными, как и необходимые. При определении степени точности выборочного исследования оце­нивается величина ошибки, которая может произойти в процессе вы­борки. Такие ошибки носят название случайных ошибок репрезента­тивности (т) и являются фактической разностью между средними или относительными величинами, полученными при выборочном иссле­довании, и аналогичными величинами, которые были бы получены при изучении всей совокупности.

Средняя ошибка среднего арифметического числа определяется по формуле:

СГ

т= ±~г= Vn

Среднюю ошибку средней арифметической величины можно вы­числить как и сигму, по амплитуде вариационного ряда:

V -V .

^^+_S22———а^-.где

В - коэффициент для определения ошибки, соответствующий числу наблюдений (приложение 1).

В приведенном примере средняя ошибка составила ±0.16 дней.

о- 1.63 1.63

^Тп^ж^-^

А при расчете по амплитуде вариационного ряда:

24-16 " г- - /• ^^^—_—^ +о\-/р,неи, что достаточно близко к средней ошибке,

46.9 рассчитанной по обычной формуле.

При оценке полученного результата по размеру средней ошибки, пользуются доверительным коэффициентом (t), который дает возмож­ность определить вероятность правильного ответа, то есть он указы­вает на то, что полученная величина ошибки выборки будет не боль­ше действительной ошибки, допущенной вследствие сплошного на­блюдения. Так, если принять t = 2.6, то вероятность правильного от­вета составит 99.0%, а это означает, что из 100 выборочных наблюде­ний только один раз выборочная средняя может оказаться вне преде­лов генеральной средней. При t = 1 вероятность правильного ответа составит лишь 68.3%, а 31.7% средних могут оказаться вне вычислен­ных пределов. Следовательно,^ увеличением доверительной вероят­ности увеличивается ширина доверительного интервала, что в свою очередь повышает достоверность суждения, спорность полученного результата (табл. 10).

Таблица 10 Оценка полученного результата по средней ошибке

Доверительный коэффици­ент (критерий точности)	Опорность результата (достоверность) Pi	Риск ошибки р
ti = М ± 1т t2 = М ± 2т t2,6 = М ± 2,6т t3 = М ± Зт 1з,з = М ± 3,3т	68,3% (Pi - 0,683) 95,5% (Pi - 0,955) 99,0% (Pi - 0,990) 99,7% (Pi - 0,997) 99,9% (Pi - 0,999)	0,317 0,05 0.010 0,003 0,001

В медико-статистических исследованиях обычно используют до­верительную вероятность (надежность), равную 95,5-99,0%, а- в наи­более ответственных случаях - 99,7%.

Таким образом, если ст является доверительной вероятностью по­явления необходимых данных в заданных границах, то m является доверительным интервалом, с помощью которого определяются гра­ницы возможного размера изучаемого явления.

Зная размер ошибки, можно, как отмечалось выше, правильно оп­ределить требуемое число наблюдений для выборочного исследования при помощи преобразования формулы предельной оши(жи выборки

/^(дельта) = t-m -=• —г=- » ^в которую входит величина п - число наблю-

^\ V/2

дений.

Решая приведенное равенство относительно п, получим формулу для определения числа наблюдений:

t²-^ ^п=-^-

Для примера воспользуемся данными изучения средней длительно­сти пребывания больных в специализированном отделении. Здесь М = 20 дн., о- = ±1,63 дн., т = ±0,16 дн. Сколько же нужно дополнительно исследовать больных, заведомо оперируя ошибкой выборки больше полученной (А = ±0,5 дн.), при доверительной вероятности t = З?

[Определяем требуемое число наблюдений:

З^.бЗ² 9-2.66 ⁿ⁼"~0^~~~025~⁼⁹⁵•¹ Вывод: для того, чтобы оперировать в использованном нами при­мере с указанной точностью (99,7%), следует подвергнуть изучению 95-96 больных. Нами исследовано 95 больных, что соответствует ис­комой величине.

^<;' Достоверность разности средних величин

На практике нередко приходится иметь дело не с одной, а с двумя средними: надо сравнить среднюю длительность пребывания больных в 2-х стационарах или за отчетный год и предыдущий, результаты, полученные при исследовании 2-х групп больных, лечившихся разны­ми методами, исследуемую группу и контрольную и т.д. Целью срав­нения двух средних является оценка существенности их различий, ус-гановление их достоверности.

Достоверность разности между двумя средними величинами опре­деляется по формуле:

М, - М, , , t= ' -^-.где

^ггг^+т^

М, н М^ - две средних арифметических величины, полученные в двух самостоя­тельных независимых группах наблюдении;

т, и w, - их средние ошибки (выражение -Jm,² + т^ называют средней ошибкой

)азности двух средних),

/ - доверительный коэффициент для разности средних.

При / >2 разность средних арифметических может быть признана существенной и неслучайной, то есть достоверной. Это значит, что и в •енеральной совокупности средние величины отличаются, и что при ювторении подобных наблюдений будут получены аналогичные раз-1ичия. При / = 2 надежность такого вывода будет не меньше 95%. С увеличением / степень надежности также увеличивается, а риск ошиб-'<;

ки уменьшается. При t < 2 достоверность разности средних величин считается недоказанной. Например, в больнице «А» средняя длитель­ность пребывания больного на койке равна 16,2 дн., m = ±1,5 дн.; в больнице «В» - 14,8 и 1,0 соответственно. 16.2-14.8 1.4

"таг-иг⁰-⁸

Различие средних арифметических недостоверно, статистически незначительно. Но нельзя в таких случаях говорить о том, что «нет разницы»!. Различие есть, но оно может быть случайным, недостовер­ным.

В сопряженных совокупностях (зависимых рядах) оценка досто­верности разности средних проводится про формуле:

рад»

/ = —————

pa'Jit

Алгоритм расчета.

1. Составляем два вариационных ряда (например, по уровню ар­териального давления у больных до и после введения гипотензивного препарата).

V,	V:	•paw	d^V,-M,	"I
190 180 170 170 165	170 150 165 160 150	20 30 15 10 15	2 12 -3 -8 -3	4 144 9 64 9

Z^;"'^

2. Составляется вариационный ряд из разности вариант (Уразн = Vi

-V2).

3. Для нового ряда рассчитываются все его характеристики: Мразн,

Оразн, ГПразн.

1>,⁵ 20+30+15+10+15 М = ——— = —————-————— = 18(лш)

П J

f^~4~л I—————

^т^г^Т^⁵'⁷^ "'^-у¹^

1 О

4. Определяем / - -!°.^ 59-" " 2.6

5. Так как п < 30, полученное значение t сравниваем с табличным (приложение № 2).

Полученное нами t > 1табл о.99, следовательно полученная средняя разность в уровнях АД (18 мм рт. ст.) существенна и неслучайна, то есть достоверна.

Достоверность показателей и разности показателей

Достоверность показателя определяется с помощью его средней

ошибки по формуле: /^ = ± \^- •> ^г•^ae Р ~ Рзэ^Р показателя, выраженный в

V п

долях единицы, в процентах, в промилле; q - равно 7 -р или 100 - р или 1000 -р (величина, дополняющая показатель до основания); п - число наблюдений.

Например; обследовано 1800 больных, из них выявлено 90 боль­ных гипертонической болезнью I ст. Процент выявленных больных по

данным проведенного осмотра равен: ————=5 случаев на 100 ос-1800

мотренных. „, = + )⁵'⁹⁵ ^ п 5 • Следовательно, с вероятностью 95.5%

~Vl800

показатель выявляемости больных с ГБ-1 в аналогичных условиях будет колебаться в пределах Р ±2т = 5 ±2 • 0.5 = 5 ± 1.0, то есть от 4 до 6 случаев на 100 обследованных.

Достоверность различий между сравниваемыми показателями вы­числяется по формуле, аналогичной для средних величин:

t--^

^/W)² + т}

Оценивается критерий различия показателей также, как и средних величин.

Для примера сопоставим уровни общей летальности в двух боль­ницах'

	Больница №1	Больница №2
Число лечившихся	4350	6760
Из них умерло	196	236
Летальность	4.5% (Pi)	3.5% (Р2)

q = 100% или когда показатель равен 100% (Р = ]00%) или близок к 100%, а q = 0, следует узнать, а каким бы мог быть показатель изучае­мого явления при других условиях отбора (другое число наблюдений, другой состав больных по полу, возрасту и т.д.)? Для этого пользуются специальной формулой, по которой можно вычислить «ожидаемый»

д+1 уровень показателя: р, = ——. 100%, где

' п+2

а - результативный показатель (Р).

Допустим, что в больнице лечилось экспериментальным методом 60 больных (п), среди которых летальных исходов не было (Р = 0%). Вы­числяем «ожидаемый» показатель летальности:

/',=^. юо«/. =1.6%.

Ошибка такого показателя определяется по формуле:

[~pq~ /1.6-98.4 /158.2 , ^w- - 4^3 ⁼ 4^3- ⁼ 4~W = ^L58%-При t = 2 возможны колебания ожидаемого показателя в пределах от 0% до 4.76% (1.6 ± 3.16).

Малая выборка

В клинических и экспериментальных работах довольно часто при­ходится пользоваться малой выборкой, когда число наблюдений меньше 30. При малой выборке средние величины и показатели вычисляются по тем же формулам, что и при большой. При вычислении среднего квад-ратического отклонения и средней ошибки показателя число наблюде­ний уменьшается на единицу:

„.,Ж; „,=J^

V п-\ \п-\

Достоверность результатов (t) оценивается по таблице Стьюдента. Обращаться с таблицей Стьюдента следует по графе 1-й, в которой ука­зано число степеней свободы (п'), равное п - I, то есть числу проведен­ных наблюдений уменьшенному на единицу. Данные 2, 3 и 4-й граф ис­числены для вероятности правильного заключения, равной: 95% - графа 2, при риске ошибки 5% (Роз); 99% - графа 3, при риске ошибки 1% (Poi) и 99.9% - графа 4, при риске ошибки 0.01% (Pool).