Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним емкостным элементом

Пример 4.

Рассмотрим цепь на рис П-4.

Составим уравнение цепи по второму закону Кирхгофа после замыкания ключа в момент времени t=0, и учтем, что U_r = r•i , а ток для емкости i = С du_c/dt.

U_c+U_r == r •i +u_c = r•С*du_c/dt +Uc = E (П4-1)

6Решение уравнения (п4-1) запишем в виде суммы двух составляющих:

U_С =Uс_у + Uс_св (П4-2)

где Uс_у -установившееся значение напряжения на конденсаторе;

Uс_св - свободная составляющая напряжения на конденсаторе.

Очевидно, что в установившемся режиме: Uс_у = Е.

Вторая составляющая соответствует свободному процессу. Т.к. дифференциальное уравнение (П4-1) первого порядка, то решение уравнения имеет вид :

Uс_св = А·ехр(рt) (П4-3)

где p= -1/rC корень характеристического уравнения:

r ·Cp+1=0 (П4-4)

Общее решение:

U_c = Uс_у + Uс_св =E+ А·ехр(-t/rC) (П4-5)

Для определения постоянной А воспользуемся законом коммутации

для емкостного элемента. Будем считать, что до коммутации (t=0-) емкость не была заряжена. Поэтому:

U_c (t=0_-)=0 = U_c (0₊) = E+ А, (П4-6)

откуда А= -Е. Подставив получим:

Uс_св =Е ·[1- ехр(-t/τ)] (П4-7)

где -τ= r•C имеет размерность времени.и называется постоянной времени цепи. Запишем выражения для тока на сопротивлении.

Uс_св =Е·[1-*ехр(-t/τ) ] (П4-8)

Ur =r·i=Е·ехр(-t/τ) (П4-9)

i=C·du/dt= Е/r·ехр(-t/τ) (П4-10)

7В первый момент после замыкания ключа (t=0) ток в цепи равен :

i= Е/r, (П4-11)

При малых r ток может быть значительным !!!

Принужденный ток через конденсатор равен «0».

При 0 ≤ t ≤ τ скорость нарастания напряжения на емкости можно считать постоянной : du_с/dt │ _t=0+ = Е/rC, поэтому напряжение на конденсаторе будет изменяться по следующему закону:

u_с= 1/ rC · ∫ Е dt = 1/ rC ·Е·t. (П4-12)

т.е. данное звено является интегрурующим. Напряжение на конденсаторе будет линейно увеличиваться во времени.

Практически, процесс зарядки конденсатора можно считать завершенным после истечение времени t = 5τ.

Н а рис П4-2 приведен график изменения тока i_C в цепи с емкостью С после замыкания ключа К.

Рис. П4-2 График зависимости тока емкости от времени в RC цепи после подключения ее к источнику постоянной э.д.с.

.

Литература

1.Л.А. Бессонов «Теоретические основы электротехники» М. Высшая школа, 1984.

2. В.П. Попов , « Основы теории цепей», М,Высшая шклоа, 1998.

3. А.В. Фремке, Лениград, Энергия, 1980

