Закорачивание цепи катушки индуктивности с током .

До замыкания ключа в цепи протекал установившийся ток I = Е/(r+ R).

Дифференциальное уравнение цепи после замыкания ключа:

u_{L +} u_r = L di/dt +ri =0 ( П2-1)

Т.к. уравнение однородное, то решение содержит только свободную составляющую:

I_св = А*ехр(-t/t), (П2-2 )

где t =- L/r

Постоянную интегрирования А найдем из условия коммутации: до замыкания ключа при t=t_0- в цепи протекал установившийся ток Е/(r+ R) , он же останется и после комммутации (t=t₊₀):

i =Е/(r+ R)=i_(t=0+) =А (П2-3 )

Подставив в уравнение (П2-2) найденное значение постоянной интегрирования имеем:

i _св = Е/(r+ R)*ехр(-t/t) (П2-4 )

Ток в катушке индуктивности после коммутации поддерживается за счет энергии , накопленной в ее магнитном поле.

Напряжение на сопротивлении U_R и катушке индуктивности U_L имеют вид:

Ur= r*i = Еr/(r+ R)*ехр(-t/t) (П2-5 )

U_L= L*di/dt = - Еr/(r+ R)*ехр(-t/t) (П2-6 )

Г рафики зависимости U_r и U_L от времени представлены на рис. П2-1.

Рис П2-1. Графики зависимости U_r и U_L от времени.

Пример 3

Размыкание цепи катушки с индуктивностью

Для исключения дуги при размыкании катушки индуктивности применяют шунтирование катушки резистором.

Первоначально ключ K был замкнут и в цепи был установившийся процесс.

Через катушку индуктивности протекал установившийся ток.

Составим уравнение цепи.

E = U_L+Ur+U_R= Ldi/dt +(r+R)*i (П3-1)

Общее решение уравнения очевидно:

I=i_св+i_у (П3-2)

i_у= E/(r+R), (П3-3)

i= E/(r+R) + А*ехр(-(r+R)/L *t) (П3-4)

Для определения постоянной А по закону коммутации имеем:

до размыкания ключа через катушку L протекал ток i=E/r, таким он будет

и после размыкания.

i(t_0-) = E/r =i(t₀₊) = E/(r+R)+ A, (П3-5)

откуда:

А = Е/ r - Е/(r +R) (П3-6)

Подставим в уравнение для тока , получим:

i= E/(r+R) [1+R/r *ехр (-t/t )] (П3-7)

где- t = L/(r +R) постоянная времени цепи.

Найдем законы изменения напряжения на сопротивление и индуктивности:

Ur= r*I = r* E/(r+R)*[1 +R/r *ехр(- t/t)] (П3-8)

U_R= R*I =R* E/(r+R)*[1 +R/r* ехр( - t/t)] (П3-9)

U_L=Ldi/dt =-RE/r *ехр(- t/t)] (П3-10)

В первый момент времени после размыкания ключа (t=0₊) напряжение на сопротивлении R скачком возрастает от нуля U_R(0-)=0 до U_R(0+) =E*R/r. Поэтому падение напряжение на сопротивлении возрастет в R/r раз.

П ример расчета : Если r=1 Oм , а R=1000 Ом, то при напряжении источника 50В, после размыкания ключа напряжение R возрастет до 50*1000/1=50000 В ! ! !. Это напряжение опасное и может вызвать появление дуги !!!

На рисунке П3-1приведена зависимость напряжения UR времени после отключения ключа К.