Определение классического метода расчета переходных процессов.
Классическим методом расчета переходных процессов называют метод расчета, в котором решение дифференциального уравнения представляет собой сумму принужденной и свободной составляющих, а определение постоянных интегрирования, входящих в выражение для свободного тока (напряжения), производят путем совместного решения системы линейных алгебраических уравнений по известным значениям корней характеристического уравнения, а также по известным значениям свободной составляющей тока (напряжения) и ее производных, взятых
при t = 0+ .
Для решения задачи необходимо проделать следующие действия:
1.Записать уравнения Кирхгофа для полных токов.
2. Записать отдельно уравнения Кирхгофа для свободных и принужденных токов.
3. В дифференциальных уравнениях для свободных токов вместо выражения Ldiсв/dt записать p*L*iсв, вместо выражения, ∫ iсвdt записать .iсв/рС и вместо е.д.с. Е записать Е/р.
4. Записать начальные условия для напряжений на емкостях и токов в катушках индуктивностей. до коммутации.
Полученные уравнения представляют собой систему алгебраических уравнений относительно р и не содержат производных и интегралов. Число алгебраических уравнений равно числу неизвестных свободных токов.
Определитель этой системы уравнений Δ равен нулю.
Это уравнение Δ=0 и называется характеристическим уравнением. Неизвестным в нем является величина р, называемая корнем характеристического уравнения. Число корней рi, равно степени алгебраического уравнения. Корни уравнения могут быть действительными или комплексными. В случае комплексных корней характеристического уравнения переходный процесс носит колебательный характер в случае действительных корней –апериодический характер. Обычно изменения токов и напряжений во времени после коммутации носят экспоненциальный характер.
Рассмотрим примеры расчета переходных процессов классическим методом в цепях первого и второго порядков с источниками постоянной и синусоидальной э.д.с. при нулевых начальных условиях.
3.2.1Пример 1. Переходный процесс в цепи при подключении к источнику эдс цепи c последовательно соединенными r и l
3.2.2Рассмотрим цепь на рис.1
В цепи при замыкании ключа К в момент времени t=0, появится ток i и напряжение на резистивном и индуктивном элементах равные соответственно:
uL =L di/dt (П1-1)
ur=r*i (П1-2)
4Составим уравнение цепи. По второму закону Кирхгофа
Е = uL + ur = L di/dt +r*i (П1-3)
Общее решение дифференциального уравнения записываем в виде :
i=iсв+iу (П1-4)
где:
iу -установившися ток -ток после окончания переходного процесса;
iсв -свободный ток -ток в отсутствии внешней вынуждающей энергии.
5Очевидно, что: iу =Е/r (П1-5)
Однородное уравнение для свободных токов имеет вид :
L diсв/dt +r*iсв =0 (П1-6)
Заменим в нем L diсв/dt на Lpiсв получим характеристическое
уравнение :
Lр +r =0 (П1-7)
корень уравнения равен : р = - r/L.
Решение однородного уравнения( для свободных токов) записывается в виде :
iсв =А*ехр( рt), (П1-8)
Т.о. общее решение имеет вид: i=iсв+iу
i =Е/r+ А*ехр( - (r/L)*t) (П1-9)
Найдем значение постоянной интегрирования А.
Из законов коммутации имеем: ток до коммутации через индуктивность был равен «0», поэтому после коммутации в момент времени t(0+) он тоже должен быть равен нулю:
i=0 → Е/r+ А*exp(p*0) =0 (П1-10)
или:
А = -Е/ r, (П1-11)
Подставив в уравнение (П1-8) для тока значение А, окончательно получим закон изменения тока после замыкания ключа:
i =Е/r[1- ехр( - (r/L) *t)] (П1-12)
где величина L/r =1/р называется постоянной времени цепи и обозначается t. t имеет размерность времени (секунда). Постоянная времени t определяет скорость нарастания тока в цепи.
Запишем законы изменения падений напряжений на сопротивлении и индуктивности:
UR =r*i = E [1- ехр( - t /t)] )] (П1-13)
UL =Ldi/dt = E* ехр( - t /t)] (П1-14)
На рис П3.1 приведены графики зависимостей токов i и падения напряжения на индуктивности UL в зависимости от времени после замыкания ключа.
Рис.П-1. Графики зависимости тока i(t) и напряжения UL(t) на индуктивности от времени после подключения R,L цепи к источнику постоянной е.д.с.
Пример 2.