2. Зображення синусоїдних величин векторами на площині

При розрахунку електричних кіл виникає потреба виконувати арифметичні операції зі змінними струмами. Наприклад у вузлі сходяться три вітки і знаючи струми і₁ та і₂, необхідно визначити струм і₃= і₁+ і₂ (за перши правилом Кірхгофа):

(2.10)

(2.11)

? (2.12)

Струм і₃ також буде синусоїдним, бо складові і₁ та і₂ синусоїдні і мають однакову частоту. Потрібно визначити амплітуду та початкову фазу . Це можна зробити, додаючи струми за формулами тригонометрії, але цей шлях громіздкий, тому треба шукати інший. Один із можливих варіантів розв’язку поставленої задачі – це подання синусоїдних величин векторами, який обертається з частотою . Зобразимо струми і₁ та і₂ на площині за допомогою векторів з модулем (довжиною), який дорівнює амплітуді та , розташованими під кутами та . Тоді за правилами векторної алгебри додаємо два вектори і отримуємо шуканий вектор і₃.

Рис. 2.6 Додавання векторів

2.1.3 Загальні відомості про комплексні числа

Для розрахунку електричних кіл змінного струму використовують комплексний метод. Сутність методу полягає в тому, що замість геометричних дій над векторами проводяться відповідні математичні дії над комплексними числами, що визначають параметри цих векторів.

За теорією функцій комплексної змінної осі комплексної площини позначаються, як показано на рис.

– додатна вісь дійсних величин (вісь +1);

– від‘ємна вісь дійсних величин (вісь -1);

– додатна вісь уявних величин (вісь +j);

– від‘ємна вісь дійсних величин (вісь - j).

Рис. 2.7 Комплексна площина

Нехай вектор має модуль А і аргумент відносно осі вісь +1.

Кути прийнято відкладати від осі +1, додатним напрямком відліку прийнято напрямок проти годинникової стрілки; за годинниковою стрілкою відкладають кути зі знаком “мінус”.

Зображений на рис. вектор може бути записаний в трьох формах:

(2.13)

Це алгебраїчна форма запису комплексного числа, де А₁ – дійсна частина комплексного числа, В₁ – уявна частина комплексного числа, j – уявна одиниця, що має властивість j ²=-1.

(2.14)

Це показникова форма запису комплексного числа.

(2.15)

Рис. 2.8 Одиничний вектор на комплексній площині

Це тригонометрична форма запису комплексного числа.

В основі подання векторів або будь-яких комплексних чисел лежить формула Ейлера:

(2.16)

Додавання і віднімання комплексних чисел проводять у алгебраїчній формі. При цьому дійсні частини чисел і уявні частини чисел додають чи віднімають окремо (як подібні доданки). Нехай є комплексні числа:

, (2.17)

. (2.18)

Знайдемо їх суму:

. (2.19)

Знайдемо їх різницю:

. (2.20)

Множення і ділення комплексних чисел проводять у показниковій формі. Якщо комплексні числа подано в алгебраїчній формі, то їх попередньо переводять у показникові форму.

Переведемо числа та в показникові форму:

, (2.21)

, отже (2.22)

.

, (2.23)

, (2.24)

отже

(2.25)

Знайдемо добуток чисел та :

. (2.26)

Знайдемо частку чисел та :

. (2.27)

Питання для самоперевірки знань

1. Синусоїдний струм. Рівняння сили струму та напруги.

2. Амплітудне, діюче та миттєве значення сили струму та напруги.

3. Частота, циклічна частота, період, фаза.

4. Промислова частота.

5. Хвильова діаграма

6. Зсув фаз

7. Синфазні величини

8. Протифазні величини

9. Величини у квадратурі

10. Синусоїдні величини, як вектори на площині

11. Комплексні числа

12. Комплексна площина

13. Алгебраїчна форма запису комплексного числа

14. Тригонометрична форма запису комплексного числа

15. Показникові форма запису комплексного числа

16. Формула Ейлера

17. Додавання і віднімання комплексних чисел

18. Множення і ділення комплексних чисел

Теми рефератів

1. Застосування змінного струму у твоїй професії

2. Видатні відкриття і винаходи Т. Едісона.

3. Видатні відкриття і винаходи О. Хевісайда.

Питання для самостійного опрацювання

1. Квазістаціонарні струми