3.7.2. Бинарный поиск

Другим относительно простым методом доступа к элементу является метод бинарного (дихотомического, двоичного) поиска, который выполняется в заведомо упорядоченной последовательности элементов. Записи в таблицу заносятся в лексикографическом (символьные ключи) или численно (числовые ключи) возрастающем порядке. Для достижения упорядоченности может быть использован какой-либо из методов сортировки (см. 3.9).

В рассматриваемом методе поиск отдельной записи с определенным значением ключа напоминает поиск фамилии в телефонном справочнике. Сначала приближенно определяется запись в середине таблицы и анализируется значение ее ключа. Если оно слишком велико, то анализируется значение ключа, соответствующего записи в середине первой половины таблицы, и указанная процедура повторяется в этой половине до тех пор, пока не будет найдена требуемая запись. Если значение ключа слишком мало, испытывается ключ, соответствующий записи в середине второй половины таблицы, и процедура повторяется в этой половине. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет найден требуемый ключ или не станет пустым интервал, в котором осуществляется поиск.

Для того, чтобы найти нужную запись в таблице, в худшем случае требуется log2(N) сравнений. Это значительно лучше, чем при последовательном поиске.

Программная иллюстрация бинарного поиска в упорядоченном массиве приведена в следующем примере, где a - исходный массив, key - ключ, который ищется; функция возвращает индекс найденного элемента или EMPTY - если элементт отсутствует в массиве.

{===== Программный пример 3.5 =====}

Function BinSearch(a : SEQ; key : integer) : integer;

Var b, e, i : integer;

begin

b:=1; e:=N; { начальные значения границ }

while b<=e do { цикл, пока интервал поиска не сузится до 0 }

begin i:=(b+e) div 2; { середина интервала }

if a[i]=key then

begin BinSearch:=i; Exit; {ключ найден - возврат индекса }

end else

if a[i] < key then b:=i+1 { поиск в правом подинтервале }

else e:=i-1; { поиск в левом подинтервале }

end; BinSearch:=EMPTY; { ключ не найден }

end;

Трассировка бинарного поиска ключа 275 в исходной последовательности:

75, 151, 203, 275, 318, 489, 524, 519, 647, 777

представлена в таблице 3.4.

Интерация	b	e	i	K[i]
1	1	10	5	318
2	1	4	2	151
3	3	4	3	203
4	4	4	4	275

Таблица 3.4

Алгоритм бинарного поиска можно представить и несколько иначе, используя рекурсивное описание. В этом случае граничные индексы интервала b и e являются параметрами алгоритма.

Рекурсивная процедура бинарного поиска представлена в программном примере 3.6. Для выполнения поиска необходимо при вызове процедуры задать значения ее формальных параметров b и е - 1 и N соответственно, где b, e - граничные индексы области поиска.

{===== Программный пример 3.6 =====}

Function BinSearch( a: SEQ; key, b, e : integer) : integer;

Var i : integer;

begin

if b > e then BinSearch:=EMPTY { проверка ширины интервала }

else begin

i:=(b+e) div 2; { середина интервала }

if a[i]=key then BinSearch:=i {ключ найден, возврат индекса}

else if a[i] < key then { поиск в правом подинтервале }

BinSearch:=BinSearch(a,key,i+1,e)

else { поиск в левом подинтервале }

BinSearch:=BinSearch(a,key,b,i-1);

end; end;

Известно несколько модификаций алгоритма бинарного поиска, выполняемых на деревьях, которые будут рассмотрены в главе 5.