1.1.8. Вероятности гипотез. Формула Байеса

Формула полной вероятности, которую мы только что получили и обсудили, позволяет вывести один важный результат, имеющий многочисленные приложения.

Пусть снова несовместные события В₁, В₂, …, В_n образуют полную группу событий для некоторого опыта (испытания). Событие А может наступить при условии появления одного из этих событий. Поскольку заранее неизвестно, какое из событий В_i произойдет, будем называть их гипотезами. Вероятности гипотез Р(В_i) (i=1, …, n) нам известны. Эти вероятности заданы до испытания, и носят название априорных (от латинского a priori – из предшествующего), т.е. независимых от опыта. Условные вероятности наступления события А для каждой гипотезы также будем считать известными.

Теперь допустим, что испытание проведено и событие А появилось. Результат опыта, вообще говоря, должен изменить наше отношение к априорным вероятностям гипотез Р(В_i). Вполне закономерен вопрос: как изменились вероятности гипотез, если событие А уже наступило?

Речь идет, таким образом, о вычислении так называемых апостериорных вероятностей гипотез Р_А(В_i). Слово апостериорный означает "полученный на основании опыта, после опыта" (от латинского a posteriori – из последующего).

Найдем сначала условную вероятность Р_А(В_i). Для этого воспользуемся теоремой умножения в форме

Р(АВ_i)=Р(А)Р_А(В_i)=Р(В_i) ,

откуда

Р_А(В_i)= (1.1.8.1)

Р(А) найдем по формулу полной вероятности:

Р(А)= . (1.1.8.2)

Подставляя (1.1.8.2) в (1.1.8.1), получим

Р_А(В_i)= . (1.1.8.3)

Формула (1.8.3) называется формулой Байеса (названа по имени английского математика). Эта формула и позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания.

Нетрудно заметить, что сумма апостериорных вероятностей гипотез равна единице (знаменатель формулы (1.1.8.3) есть константа):

Ясно также, что некоторые априорные вероятности в результате испытания увеличились, а некоторые – уменьшились. Связано это с тем, что в результате испытания появилась некоторая информация, которая и позволяет переоценить априорные вероятности, заменив их апостериорными, вычисленными по формуле Байеса.

Пример. Партия деталей изготовлена двумя рабочими. Каждый из них изготовил половину всех деталей. Вероятность брака у них соответственно 0,01 и 0,1. Взятая из партии наугад деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что ее изготовил второй рабочий?

Решение.

Р(В₁)=Р(В₂)=0,5.

=0,01, =0,1

(А – деталь оказалась бракованной, В_i – гипотезы).

.

1.1.9. Схема независимых последовательных испытаний

1.1.9.1. Схема Бернулли. Формула Бернулли

Независимые последовательные испытания – это такие испытания, в которых исход каждого последовательного опыта никак не связан с предыдущими исходами, т.е. не зависит от них. Предположим, что мы многократно подбрасываем монету. Будем считать выпадение герба удачей, а выпадение решки – неудачей.

Нет никаких оснований считать, что в одном из конкретных бросаний удачный или неудачный исход зависит от того, что произошло при предыдущих бросаниях. Можно привести большое число примеров последовательных независимых испытаний. Например, будем считать, что производство на станке детали стандартного типа – удача, а бракованной детали – неудача. Если технологические условия изготовления деталей не меняются, то этим условиям соответствует некоторый процент брака: это означает, что вероятность изготовления стандартной детали или вероятность изготовления бракованной детали являются постоянными для всей серии испытаний.

Если вероятность наступления некоторого события А не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Сама же последовательность таких испытаний называется схемой Бернулли.

Будем далее рассматривать схему Бернулли, в которой вероятность наступления события А Р(А)=р. Поставим такую задачу: определить вероятность того, что в результате n независимых испытаний событие А наступит ровно m раз (очевидно, mn).

При этом совершенно не важно, в каких именно испытаниях наступает событие А: важно лишь то, чтобы общее число наступлений события А в серии из n испытаний было равно m. Ясно также, что не наступит событие А в (n–m) испытаниях. Обозначим искомую вероятность символом Р_n(m).

Заметим, что событие, состоящее в том, что некоторое простое событие (событие А) происходит m раз, а (n–m) раз не происходит, является сложным. Вероятность одного такого события, очевидно, равна p^mq^n–m, где q=1–p – вероятность того, что событие А в единичном испытании не наступает. Но мы понимаем, что последовательность наступления событий А может быть различной. Сколько всего имеется сложных событий, при которых событие А наступит m раз и не наступит (n–m) раз? Очевидно, это число равно числу сочетаний из n элементов по m, т.е. .

Так как все эти сложные события несовместны (наступление одного из них, т.е. появления события А в определенной последовательности, исключает возможность другого, в котором эта последовательность отличается), то искомая вероятность равна сумме вероятностей всех сложных событий. Но каждое сложное событие имеет одну и ту же вероятность, равную p^mq^n–m. Поэтому суммарная вероятность в раз больше:

P_n(m)= p^mq^n–m. (1.1.9.1)

Формула (1.1.9.1) носит название формулы Бернулли. Она имеет очень важное значение в теории вероятностей, т.к. связана с повторением испытаний в одинаковых условиях, т.е. с такими условиями, в которых как раз и проявляются вероятностные законы.

Пример 1. Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз выпадет герб?

Решение.

Р₈(6)= p⁶q²= .

Пример 2. В каждом из 4 ящиков по 5 белых и 15 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность вынуть 2 белых и 2 черных шара?

Решение. Пусть А – появление белого шара. Вероятность этого события одинакова для каждого ящика (состав шаров в ящиках одинаков) и равна . Тогда – появление черного шара, вероятность этого события q=1–p= . По формуле Бернулли при n=4 имеем

Р₄(2)= p²q²= .