1.1.6.5. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Для несовместных событий А и В

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Как вычислить Р(А+В), если А и В – совместные события? Пример совместных событий: пусть А – появление четырех очков при бросании игральной кости, а В – появление четного числа очков.

Ответ на поставленный вопрос дает теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ). (1.1.6.12)

Доказательство.

	А
	В
	АВ

Т.к. А и В совместны, то событие А+В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: А , В или АВ (см. рис.).

Поэтому

Р(А+В)=Р(А )+Р( В)+Р(АВ). (1.1.6.13)

Представим событие А как сумму двух несовместных событий:

А=А +АВ.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий

Р(А)=Р(А )+Р(АВ).

Отсюда

Р(А )=Р(А)–Р(АВ). (*)

Аналогично

В= В+АВ,

Р(В)=Р( В)+Р(АВ),

Р( В)=Р(В)–Р(АВ). (**)

Подставляя (*) и (**) в (1.6.13), получим

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ),

что и требовалось доказать.

Замечание 1. События А и В могут быть как зависимыми, так и независимыми.

Для независимых событий

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(А)Р(В). (1.1.6.14)

Для зависимых событий

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(А)Р_А(В). (1.1.6.15)

Замечание 2. Если события несовместны, то Р(АВ)=0 и формула (1.1.6.12) принимает вид

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Мы получили теорему сложения вероятностей для несовместных событий. Таким образом, формула (1.1.6.12) справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из первого и второго орудий равны: р₁=0,7 и р₂=0,8. Найти вероятность хотя бы одного попадания при залпе двух орудий.

Решение. Пусть А – попадание из первого орудия, В – попадание из второго орудия. Эти события независимы, поэтому

Р(АВ)=Р(А)Р(В)=0,70,8=0,56.

Тогда

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ)=0,7+0,8–0,56=0,94.

Замечание. Т.к. А и В – независимые, эту задачу можно решить так:

Р=1–q₁q₂,

где q₁q₂=(1–p₁)(1–p₂) – вероятность промаха из обоих орудий.

Тогда

Р=1–(1–0,7)(1–0,8)=1–0,30,2=1–0,06=0,94.

1.1.7. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить только при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, которые образуют полную группу. Пусть вероятности Р(В₁), Р(В₂), …, Р(В_n) наступления событий В₁, В₂, …, В_n известны. Также известны условные вероятности наступления события А:

, , …, .

Как найти Р(А)? Ответ дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А)=Р(В₁) (А)+Р(В₂) (А)+…+Р(В_n) (А)=

. (1.1.7.1)

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Доказательство. По условию событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В₁, В₂, …, В_n. Это значит, что появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В₁А, В₂А, …, В_nА. По теореме сложения вероятностей

Р(А)=Р(В₁А)+Р(В₂А)+…+Р(В_nА). (*)

Но чему равна вероятность Р(В_iА)?

По теореме умножения вероятностей зависимых событий

Р(В_iА)=Р(В_i) (А). (**)

Подставим (**) в (*) и получим

,

что и требовалось доказать.

Пример 1. На первом заводе из каждых 100 электролампочек производится в среднем 90 стандартных, на втором – 95, на третьем – 85, а продукция этих заводов составляет соответственно 50, 30 и 20% всех электролампочек, поставляемых в магазин. Найти вероятность приобретения в магазине стандартной электролампочки.

Решение. Обозначим через В_i событие, заключающееся в том, что купленная в магазине лампочка изготовлена на i-м заводе, А – лампочка оказалась стандартной.

Тогда

Р(В₁)=0,5; Р(В₂)=0,3; Р(В₃)=0,2;

(А)=0,9; (А)=0,95; (А)=0,85.

По формуле полной вероятности

=0,90,5+0,950,3+0,850,2=0,905.