1.1.6.2. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

В теории вероятностей имеется важное понятие: условная вероятность. Допустим, мы изучаем два события: А и В. Эти события в общем виде связаны, или зависимы, т.е., например, вероятность появления события В зависит от того, произошло (наступило) событие А или нет.

Вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило, называется условной вероятностью этого события и обозначается

Р_А(В) или Р(В/А).

Читается: вероятность В при условии А.

Пример 1. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из нее вынимают шар и, не возвращая его обратно, вынимают второй шар. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После того, как в первом испытании появился черный шар, в урне осталось 5 шаров, среди них 2 черных. Вероятность при повторном испытании вынуть белый шар равна

.

Справедлива следующая теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго при условии, что произошло первое:

Р(АВ)=Р(А)Р_А(В). (1.1.6.3)

Доказательство. Пусть n – общее число исходов опыта, m – число исходов, благоприятствующих событию А. Пусть также l – число исходов, благоприятствующих событию АВ, т.е. совместному наступлению событий А и В.

Тогда

(см.рис.).

		m исходов, Р(А)= ,
		l исходов, Р(АВ)= .

Найдем Р_А(В). Очевидно, что в тех m случаях, когда происходит событие А, в l из них (lm) происходит событие В. Поэтому

.

Поскольку , то

Р(АВ)=Р(А)Р_А(В).

Теорема доказана. Очевидно, в силу симметрии можно записать

Р(АВ)=Р(В)Р_В(А). (1.1.6.4)

Следствие 1. Из доказанной теоремы следует, что

. (1.1.6.5)

Эти формулы можно считать определением условной вероятности.

Следствие 2. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Р(А₁А₂…А_n)=Р(А₁) (А₂) (А₃)… (А_n), (1.1.6.6)

где (А_n) – вероятность события А_n, вычисленная в предположении, что события А₁, А₂, …, А_n–1 уже наступили.

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть произвольным, т.е. безразлично, какое из них считать первым, вторым и т.д.

В частности, для трех событий

Р(АВС)=Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С). (1.1.6.7)

Пример. В урне имеется 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Последовательно извлекаются 3 шара, при этом предыдущий в урну не возвращается. Найти вероятность того, что первый шар окажется белым, второй – черным, а третий – синим.

Решение. Пусть А – появление белого шара в первом испытании, В – появление черного шара во втором и С – появление синего шара в последнем, третьем испытании.

Очевидно,

.

Тогда

Р(АВС)=Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С)= .