1.1.4. Геометрическая вероятность

В случае, когда число исходов опыта бесконечно, формулу для классической вероятности использовать невозможно. В ряде задач на сцену выходит так называемая геометрическая вероятность.

Рассмотрим такой пример. Пусть отрезок l составляет часть отрезка L (см.рис.) и

на отрезке L наудачу выбрана некоторая точка А. Слово "наудачу" будем трактовать так: точка А может оказаться в любой точке отрезка L, а вероятность ее попадания на отрезок l не зависит от расположения этого отрезка относительно границ отрезка L и пропорциональна длине l, т.е.

. (1.1.4.1)

Пример 1. На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В. Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую .

Разобьем отрезок ОА на три равные части (см.рис.). Из геометрических соображений совершенно очевидно, что если точка В попадет в средний отрезок длины , то меньший из отрезков ОВ или ОА как раз и будет превосходить . Таким образом, эта вероятность равна вероятности попадания точки В в этот средний отрезок, т.е.

.

Аналогичные рассуждения можно привести для двумерных областей  и G (см.рис.).

Если на область  наудачу брошена точка, то эта точка может оказаться в любой точке области , вероятность ее попадания в область G не зависит от положения области G относительно границ области  и пропорциональна площади G. Тогда из геометрических соображений вероятность попадания случайно выброшенной точки в область G равна:

. (1.1.4.2)

Пример 2. На плоскости заданы два концентрических круга радиуса r и R (r<R). Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в больший круг, попадет в кольцевую область, образованную границами кругов.

Решение. Очевидно,

.

1.1.5. Частота события. Статистическое определение вероятности

В ряде задач теории вероятностей используется простейшая модель: события несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Эта модель основана на соображениях симметрии (равновозможность выпадения "герба" и "решки", равновозможность выпадания 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков на игральной кости и т.д.). В действительности такие "рафинированные" ситуации встречаются далеко не всегда. Поэтому наряду с классическим используют другое определение вероятности.

Относительной частотой события называется отношение числа опытов , в которых появилось событие , к общему числу произведенных опытов :

(1.1.5.1)

Эта частота, разумеется, меняется от серии к серии опытов. Но многократные наблюдения говорят о том, что относительная частота обладает свойством статистической устойчивости: в различных сериях она принимает значения, достаточно близкие к некоторой постоянной величине. Эту величину и называют статистической вероятностью.

1.1.6. Основные теоремы теории вероятностей

1.1.6.1. Операции над событиями

Суммой А+В двух событий называется событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Если событие А – попадание точки в левый круг, В – попадание точки в правый круг, то А+В – попадание в заштрихованную область. При этом точка может попасть в левый круг и не попасть в правый, может попасть в правый круг и не попасть в левый, а может попасть и в область пересечения этих кругов (разумеется, если они пересекаются). Такие диаграммы часто используют в теории вероятностей (в теории множеств) и называются они диаграммами Венна.

Если события А и В несовместные, то картинка такая:

В этом случае событие А+В – это попадание или в левый, или в правый круг.

Пример. Произведено два выстрела из орудия. Пусть А – попадание в цель при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле. Тогда А+В – это попадание в цель при первом выстреле, или при втором, или при обоих выстрелах.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А+В+С состоит в появлении одного из следующих событий: А; В; С; А и В; А и С; В и С; А и В и С.

На приведенной диаграмме событиям А, В, С соответствует одинарная штриховка, событиям А и В, В и С, А и С – двойная штриховка, а событию А и В и С соответствует зачерненная область (тройная штриховка).

Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (1.1.6.1)

Доказательство. Пусть n – общее число исходов опыта; m₁ и m₂ – числа исходов, благоприятствующих событиям А и В. Тогда наступлению либо события А, либо события В благоприятствуют m₁+m₂ исходов, так что

.

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А₁+А₂+…+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n). (1.1.6.2)

Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Вероятность появления красного шара (событие А):

.

Вероятность появления синего шара (событие В):

.

События А и В несовместны (появляется один шар; он не может быть и красным и синим одновременно), поэтому

.

Теорема 2. Сумма вероятностей событий А₁, А₂, …, А_n, образующих полную группу, равна 1.

Доказательство очевидно: появление хотя бы одного из событий полной группы есть событие достоверное, его вероятность равна единице.

Пример 2. Производится один выстрел по круговой мишени, состоящей из яблока и двух концентрических колец (см.рис.).

Вероятности попадания в яблоко и кольца равны соответственно 0,11; 0,24; 0,35. Чему равна вероятность промаха?

Обозначим: А – попадание в яблоко;

В – попадание в первое кольцо;

С – попадание во второе кольцо;

D – промах.

Тогда А, В, С, D – полная система несовместных событий.

Р(А)+Р(В)+Р(С)+Р(D)=1,

Р(D)=1–Р(А)–Р(В)–Р(С)=1–0,11–0,24–0,35=0,3.

Противоположными называются два единственно возможных события, составляющих полную группу. Приняты обозначения: А и , – событие, противоположное А. Ясно, что

Р(А)+Р( )=1, Р(А)=1–Р( ), Р( )=1–Р(А). (*)

Примеры.

1. Из урны с белыми и черными шарами вынимают наудачу шар.

А – появился черный шар;

– появился белый шар.

2. Попадание и промах при выстреле по цели – противоположные события.

3. Из ящика, в котором имеются стандартные и нестандартные детали, вынимают одну деталь.

А – появилась стандартная деталь;

– появилась нестандартная деталь.

4. В урне 8 белых и 2 черных шара. Найти вероятность того, что среди наудачу вынутых 6 шаров окажется не более одного черного.

Решение. Будем считать, что А – событие, заключающееся в том, что среди вынутых наудачу шаров имеется 2 черных. Тогда – интересующее нас событие, при котором черных шаров оказывается не более одного (либо один черный шар, либо ни одного). Подсчитаем вероятность события А.

Общее число способов выбрать 6 шаров из 10 равно

.

Число случаев m, благоприятствующих событию А, фактически равно числу способов выбрать 4 белых шара из 8, т.к. остальные 2 шара в 6 извлеченных должны быть черными. Поэтому

.

Тогда , а .

Приведенный пример характерен тем, что нам требуется найти вероятность , но гораздо проще вычисляется вероятность противоположного события . Формулы (*) позволяют выразить одну из этих вероятностей через другую. Это следует иметь в виду при решении некоторых задач.

Произведением двух событий А и В называется событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий.

Если А – попадание точки в левый круг, В – в правый, то АВ – попадание точки в область пересечения этих кругов. Например, А – деталь годная; В – деталь окрашенная; тогда АВ – деталь годная и окрашенная.

Произведение нескольких событий – событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, монета бросается 3 раза; А, В, С – события, заключающиеся в появлении "герба" при первом, втором и третьем бросаниях. Тогда АВС – выпадение "герба" во всех трех испытаниях.