1.1.3.2. Элементы комбинаторики
Иногда для расчета благоприятных и всех возможных исходов опыта приходится использовать комбинаторику. Комбинаторика – наука о комбинациях, подчиненных некоторым условиям, которые можно составить из каких-либо элементов. Элементы могут быть любой природы.
Приведем основные термины и формулы.
Перестановками из элементов называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов, отличающиеся порядком расположения элементов.
Как вычислить число всех возможных перестановок из n элементов?
На
первом месте может оказаться любой из
элементов – это
комбинаций. На втором месте может
оказаться любой из
оставшихся элементов. Таким образом,
общее число комбинаций, связанных с
двумя первыми позициями перестановки,
оказывается равным
(для любого элемента, оказавшегося на
первой позиции, существует
элемент, находящихся на второй позиции).
На третьем месте может оказаться любой
из
элементов, которые не попали на первые
две позиции. Общее число комбинаций,
связанных с тремя первыми позициями,
равно
.
И так далее.
Таким образом, общее число перестановок
(1.1.3.2)
Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из чисел 1, 2, 3, если каждая цифра встречается только один раз?
Очевидно, количество
таких чисел равно
.
Какие это числа?
.
Для
дальнейшего заметим, что в математике
из соображений удобства принято считать
.
Размещения – комбинации из n элементов по m элементов, которые различаются как составом элементов, так и их порядком. Используя рассуждения, аналогичные предыдущим, получаем:
На первом месте может оказаться любой из n элементов, имеющихся в наличии (n комбинаций).
На втором месте может оказаться любой из n–1 оставшихся элементов; всего n(n–1) комбинаций.
На m-м месте (очевидно, m<n) могут оказаться (n–m+1) элементов.
Таким образом, число размещений
=n(n–1)…(n–m+1). (1.1.3.3)
Пример. Сколько можно составить сигналов из 6 разноцветных флажков, взяв их по 2 (заметим, что порядок флажков важен, например, синий флажок, затем красный флажок – это один сигнал, а красный флажок, затем синий – это уже другой сигнал).
Искомое число равно
=65=30.
Сочетания –
комбинации, составленные из n
различных элементов по m
элементов, в которых важен только состав
элементов, но не их порядок. Другими
словами, сочетание из n
элементов по m элементов
– это набор комбинаций из m
элементов, отличающихся хотя бы одним
элементом. Обозначается эта комбинация
.
Важно понимать
разницу между
и
.
Число размещений
включает в себя всевозможные перестановки
m элементов, входящих
в комбинацию, при подсчете же
такая перестановка не важна, важен
только состав элементов, а не их порядок.
Другими словами, если исключить в
всевозможные перестановки m
элементов, то и получим
,
т.е.
.
Для обычно пользуются формулой
=n(n–1)…(n–m+1)=
=
.
Таким образом,
(1.1.3.4)
Тогда
(1.1.3.5)
Пример 1. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?
Решение. Число
таких способов равно
Пример 2. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 наугад выбранных деталей 4 окажется стандартными.
Решение. Сколько существует способов выбрать 6 деталей из 10?
Сколько существует
способов, благоприятствующих нашему
событию? В 6 деталях должны оказаться 4
стандартные и 2 нестандартных. Сколько
существует способов выбрать 4 стандартных
детали (из 7)? Очевидно,
.
Аналогично выбрать 2 нестандартные
детали (из оставшихся 3) можно
способами. Общее же число способов равно
.
Таким образом,
.