1.8.3. Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Функцией распределения двумерной случайной величины (Х,Y) (непрерывной или дискретной) называют следующую функцию F(x,y):

. (1.8.2)

Геометрическая интерпретация: есть вероятность того, что случайная точка попадает в бесконечный квадрант с вершиной , расположенный левее и ниже этой вершины:

Свойства функции распределения

1.

2. – неубывающая функция по каждому аргументу.

3.

4. При функция распределения становится функцией распределения : , а при функция распределения становится функцией распределения : .

1.8.4. Плотность распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Для непрерывной двумерной случайной величины вводится понятие плотности распределения.

Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной случайной величины называют функцию

. (1.8.3)

При этом предполагается, что функция всюду дифференцируема по каждому из своих аргументов.

Свойства плотности распределения

1. .

2. .

3. .

4. – плотности распределения составляющих и двумерной случайной величины .

5. Вероятность попадания случайной точки в двумерную область равна двойному интегралу от плотности по этой области:

.

6. Для независимых случайных величин и :

.

1.8.5. Корреляционный момент и коэффициент корреляции

Пусть – двумерная случайная величина. Каждую из составляющих и можно характеризовать их математическими ожиданиями и дисперсиями и . Эти величины не учитывают зависимость или связь между двумя компонентами. Но есть и другие понятия: корреляционный момент и коэффициент корреляции , которые характеризуют величину в совокупности.

Корреляционным моментом случайной величины называется величина

.

Для вычисления корреляционного момента используют формулы:

– для дискретных величин

– для непрерывных величин

Учитывая свойства математического ожидания, легко убедиться, что

Из определения корреляционного момента следуют его свойства.

1. Для независимых и

Заметим, однако, что если , то отсюда не всегда следует независимость и .

2. .

Коэффициентом корреляции случайной величины называется величина

Из этого определения ясно, что – безразмерная величина, удовлетворяющая неравенству Если , то говорят, что величины и коррелированы, если же , то некоррелированы. Независимые величины всегда некоррелированы.

1.8.6. Двумерное нормальное распределение

На практике часто встречаются двумерные случайные величины, распределение которых нормально. Плотность такого распределения задается формулой:

. (*)

Это распределение определяется пятью параметрами, имеющими следующий смысл: – математические ожидания и дисперсии двух компонент ( – среднеквадратические отклонения), – коэффициент корреляции величин и .

Легко убедиться в том, что если две составляющие нормального распределения некоррелированы , то они независимы. В самом деле, полагая в (*) , получим

.

Таким образом, хотя в общем случае некоррелированность двух величин еще не означает их независимость, для нормального закона понятия некоррелированности и независимости равносильны.