Предисловие

Настоящий курс лекций предназначен для студентов, обучающихся по специальности 080100.62 (Экономика) и соответствует рабочей программе МГАВТ по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика».

Основными разделами лекций являются:

1) Теория вероятностей;

2) Математическая статистика.

В первом разделе систематически излагаются основные понятия для случайных событий: классическая и геометрическая вероятности, теоремы о вероятностях суммы и произведения событий, формула полной вероятности (формула Байеса), схема независимых испытаний (схема Бернулли), локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа и Лапласа. Изложена также терминология, используемая для дискретных и непрерывных случайных величин: закон (функция) распределения, математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение случайной величины. Подробно рассмотрены основные законы распределения: биномиальный, пуассоновский, равномерный, нормальный, экспоненциальный. Дана формулировка центральной предельной теоремы Ляпунова. Введено понятие многомерного случайного вектора (многомерной случайной величины), двумерной функции и плотности распределения, коэффициента корреляции, линейной регрессии. Изложены также элементы теории массового обслуживания и цепей Маркова.

В разделе «Математическая статистика» приводится общая терминология: генеральная совокупность, выборка, вариационный ряд, свойства выборочных оценок, оценки математического ожидания и дисперсии, точечные и интервальные оценки, доверительный интервал и доверительная вероятность. Даны основы статистической теории проверки гипотез, изложены метод минимума среднего риска и эмпирические критерии (Критерий Пирсона (хи-квадрат) и Фишера-Снедекора). Рассмотрены также элементы корреляционного, регрессионного и дисперсионного анализа. Дается представление о методе Монте-Карло и моделировании случайных величин и событий.

В качестве задачника для практических занятий автор рекомендует «Задачник по

теории вероятностей» Г.И. Агапова, изд. М:- Высшая школа, 1986.

I. Теория вероятностей

1.1. Случайные события

1.1.1. Предмет теории вероятностей

События в окружающем мире можно разделить на достоверные, невозможные и случайные. Первые при реализации комплекса условий опыта (эксперимента) осуществляются всегда, вторые – никогда, третьи могут как происходить, так и не происходить. К какой из этих групп отнести конкретное событие? Это зависит от условий опыта. Например, стрелок стреляет по мишени и мы рассматриваем событие: попадание в мишень. Необходимо обеспечить целый комплекс необходимых условий: чтобы был стрелок, была мишень, был пистолет (исправный и заряженный), расстояние до мишени было меньше длины полета пули и т.д. и т.п. Если какое-либо из необходимых условий не выполнено, то событие будет невозможным. Если же все необходимые условия обеспечены, то событие может оказаться достоверным (если стрелок уперся пистолетом в цель), или случайным (в зависимости от прицела и условий полета пули на трассе).

Понятие испытания (опыта, эксперимента) – одно из основных понятий теории вероятностей. Под этим понимается обеспечение всех необходимых условий для появления данного события. События обозначают заглавными буквами латинского алфавита

Случайные события занимают промежуточную позицию между «всегда» и «никогда» и могут в данном испытании происходить или не происходить. Связано это с тем, что достаточные условия для наступления события не всегда нам подконтрольны, а про некоторые из них мы даже и не догадываемся, что они собой представляют. Так, мы не контролируем порыв ветра или вспышку молнии, приведшие к промаху по мишени. В такой ситуации вывод о качестве стрельбы нельзя делать на основании единичного испытания, а необходимо иметь возможно большее их количество и анализировать все множество результатов, которое является более устойчивым, т.к. одна часть результатов имеет отклонение в одну сторону, другая – в другую и, усредняясь, они компенсируют друг друга, открывая дорогу закономерности.

Поэтому теория вероятностей как наука о числовой мере случайных событий изучает не единичные, а массовые случайные события.