1.7.2. Теорема Чебышева

Теорема. Если Х₁, Х₂, …, Х_n – попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их ограничены (не превышают константы С), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико. Другими словами,

. (1.7.2)

Доказательство. Введем в рассмотрение величину

,

равную среднему арифметическому случайных величин Х₁, Х₂, …, Х_n. Найдем М( ):

. (*)

Применим к величине неравенство Чебышева:

,

. (**)

Но

. (***)

Подставим правую часть (***) в (**) – неравенство только усилится:

.

Теперь перейдем к пределу при n:

.

Если учесть, что вероятность не может быть больше единицы, получим

.

Теорема доказана.

Что же утверждает теорема Чебышева? Она говорит о том, что если рассматривать достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от его математического ожидания будет по абсолютной величине сколь угодно малым. Другими словами, среднее арифметическое значение достаточно большого числа независимых величин утрачивает характер случайной величины.

Теорема Чебышева имеет большое практическое значение.

1.7.3. Теорема Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью р. Какова при этом примерная частота появлений события А?

Теорема. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

(1.7.3)

где – частота появлений события в серии из n испытаний.

Доказательство. Пусть Х_i – число появлений события А в i-м испытании (i=1, 2, …, n). Каждая из этих величин может принимать только два значения: 1 с вероятностью р и 0 с вероятностью q=1–p. Эти величины независимы; мы также знаем, что дисперсия каждой из этих величин равна pq=p(1–p) , т.е. ограничена. Поэтому к величинам Х_i можно применить теорему Чебышева:

.

Но М(Х₁)=М(Х₂)=…=М(Х_n)=p, а Х₁+Х₂+…+Х_n=m и есть число появлений события А в n испытаниях. Поэтому

.

Теорема доказана.

Теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при большом n обладает свойством устойчивости. Можно сказать, что эта теорема оправдывает статистическое определение вероятности.

1.7.4. Понятие о центральной предельной теореме (о теореме Ляпунова)

Нормально распределенные случайные величины широко используются в прикладных вопросах теории вероятностей. Связано это не с простотой математического описания, а с тем, что во многих практических ситуациях случайные величины в действительности оказываются распределенными по нормальному закону. Почему так происходит?

Ответ на этот вопрос дает так называемая центральная предельная теорема теории вероятностей (теорема Ляпунова).

Теорема. Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

Это очень упрощенная формулировка. Существует целая область теории вероятностей, которая занимается выяснением условий, при которых сумма случайных величин оказывается распределенной по нормальному закону.

Пример. Некоторый прибор измеряет физическую величину. На результат измерения влияет большое число факторов: температура, влажность, давление, вибрации прибора и т.д. и т.п. Реально таких факторов, определяющих случайную ошибку измерений, всегда оказывается очень много. Поэтому часто на практике используют вероятностную модель ошибок измерения, распределенных по нормальному закону. Опыт и практика подтверждают справедливость этих моделей.