1.6.2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Плотность непрерывной случайной величины определяется как производная от функции F(x):

f(x)=F'(x). (1.6.3)

Другими словами, F(x) – первообразная для f(x). Сразу заметим, что для дискретной случайной величины функция f(x) не имеет смысла.

С помощью плотности распределения легко вычисляется вероятность того, что случайная величина попадает в некоторый интервал:

P(a<X<b)= . (1.6.4)

Доказательство очевидно.

P(a<X<b)=F(b)–F(a)= .

Таким образом, вероятность P(a<X<b) равна площади криволинейной трапеции:

Пример. Задана плотность распределения f(x) случайной величины Х:

f(x)=

Найти вероятность Р(0,5<X<1).

Решение.

Р(0,5<X<1)= =1–0,25=0,75.

Мы нашли площадь заштрихованной области.

Теперь обсудим вопрос: как определить F(x), если задана плотность f(x). Очевидно

F(x)= . (1.6.5)

Формулы (1.6.3) и (1.6.5) определяют связь между функцией распределения F(x) и плотностью распределения f(x).

Свойства плотности распределения f(x)

1. f(x)0.

В самом деле, F(x) – функция неубывающая, значит f(x)=F'(x)0.

2. Несобственный интеграл от f(x) в бесконечных пределах равен 1:

(1.6.6)

– это вероятность достоверного события X(–;), поэтому она равна 1.

Равенство (1.6.6) иногда называют условием нормировки для плотности распределения f(x).

Заметим, что несобственный интеграл вида

определяется как предел:

.

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся.

Аналогично определяется интеграл .

Геометрическая интерпретация формулы (1.6.6):

1)

Площадь ограниченной фигуры под графиком функции f(x) равна 1. При этом не является несобственным.

2)

Площадь бесконечно протяженной фигуры, равная несобственному интегралу, равна 1.

Вероятностный смысл плотности распределения

Поскольку

f(x)=F'(x)= ,

а F(x+x)–F(x) – вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (х; х+х), можно при небольших х записать:

F(x+х)–F(x)f(x)x или

P(x<X<x+x)f(x)x. (1.6.7)

Таким образом, величина f(x)x примерно равна вероятности того, что случайная величина Х попадет в интервал (х; х+х). Чем меньше х, тем точнее это приближенное равенство.

Точное значение этой вероятности – площадь криволинейной трапеции АВDE; приближенно эта площадь равна площади прямоугольника ABCE и равна f(x)x. Площадь криволинейного  ВСD – ошибка приближения.

1.6.3. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины

Чтобы найти математическое ожидание случайной величины, все значения которой принадлежат отрезку [a;b], а плотность распределения равна f(x), будем пользоваться следующей приближенной процедурой. Разобьем отрезок [a;b] на n небольших частичных отрезков длины х₁, х₂, …, х_n и в каждом из них выберем произвольную точку х_i (i=1, …, n). Будем считать, что, если n велико, то непрерывная случайная величина заменена дискретной: она может принимать только значения х₁, х₂, …, х_n с вероятностями р_i=f(x_i)x_i. Тогда, используя методику вычисления математического ожидания для дискретной случайной величины, запишем:

.

Если теперь перейти к пределу при (max x_i)0, то получим

. (1.6.8)

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то

. (1.6.8')

При этом предполагается, что интеграл сходится абсолютно, т.е. существует (сходится) интеграл .

По аналогии дисперсией непрерывной случайной величины называется величина

, (1.6.9)

или

. (1.6.9')

Среднеквадратическое отклонение как и для дискретной случайной величины определяется равенством

. (1.6.10)

Замечание 1. Все свойства математического ожидания и дисперсии, выведенные для дискретных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.

Замечание 2. Для вычисления дисперсии можно вывести более удобные формулы:

, (1.6.9'')

(1.6.9''')

для ограниченной и неограниченной случайных величин соответственно.