1.5. Математические ожидания и дисперсии некоторых случайных величин

Рассмотрим теоремы о математических ожиданиях и дисперсиях некоторых случайных величин, широко применяемых как в теории, так и на практике.

Теорема 1. Если Х₁, Х₂, …, Х_n – одинаково распределенные случайные величины, математическое ожидание каждой из которых равно а, то математическое ожидание их суммы равно na, а математическое ожидание средней арифметической равно а.

Доказательство.

М(Х₁+Х₂+…+Х_n)=М(Х₁)+М(Х₂)+…+М(Х_n)=na.

.

Теорема 2. Если Х₁, Х₂, …, Х_n – одинаково распределенные независимые случайные величины, дисперсия каждой из которых равна ², то дисперсия их суммы равна n², дисперсия средней арифметической равна , а среднеквадратическое отклонение средней арифметической равно .

Доказательство. Поскольку Х₁, Х₂, …, Х_n – независимые случайные величины, то

D(Х₁+Х₂+…+Х_n)=D(X₁)+D(X₂)+…+D(X_n)=n².

Тогда

.

.

Теорема 3. Математическое ожидание случайной величины, распределенной по биномиальному закону, т.е. числа наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может появиться с постоянной вероятностью р, равно np, а дисперсия равна npq, где q=1–p.

Доказательство. Искомую случайную величину Х представим в виде Х=Х₁+Х₂+…+Х_n, где Х_i – число появлений события в i-м испытании. Мы уже знаем, что М(Х_i)=р. Поэтому

М(Х)=М(Х₁)+М(Х₂)+…+М(Х_n)=np.

Величины Х₁, Х₂, …, Х_n – независимые, т.к. исход i-го испытания не зависит от исходов других испытаний. Поэтому

D(X)=D(Х₁+Х₂+…+Х_n)=D(X₁)+D(X₂)+…+D(X_n)= (Х_i).

Найдем D(X_i).

D(X_i)=M(X_i²)–[M(X_i)]²=M(X_i²)–p².

Величина X_i² принимает два значения: 1²=1 с вероятностью р и 0²=0 с вероятностью q. Поэтому М(X_i²)=1p+0q=p. Окончательно имеем D(X_i)=p–p²=pq,

D(X)= .

Теорема 4. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру  этого закона.

Доказательство. Напомним, что случайная величина Х, распределенная по закону Пуассона, принимает только целые неотрицательные значения m=0, 1, 2, … с вероятностями, определяемыми формулой (1.2.3.1):

.

Следовательно,

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой

D(X)=M(X²)–[M(X)]²=M(X²)–².

Очевидно,

Тогда D(X)=²+–²=. Теорема доказана.

Таким образом, теорема 4 раскрывает нам смысл параметра  пуассоновского распределения – он является математическим ожиданием и дисперсией случайной величины, распределенной по этому закону.

1.6. Непрерывные случайные величины

1.6.1. Функция распределения случайной величины

До сих пор мы рассматривали только дискретные случайные величины. Мы перечисляли все возможные значения случайной величины и задавали вероятности этих значений. Можно однако привести большое число примеров, когда случайная величина принимает непрерывный ряд значений: дальность L полета артиллерийского снаряда, расстояние случайно выброшенной точки Х на оси координат Ох от начала координат, вес дождевой капли и т.д. Будем рассматривать случайную величину Х, значения которой сплошь заполняют некоторый интервал значений (a;b). Теперь уже невозможно перечислить все возможные значения случайной величины. Для таких случайных величин вводят новое понятие – функция распределения вероятностей случайной величины.

Пусть х – некоторое действительное число. Функцией распределения называют функцию F(x), равную вероятности того, что случайная величина Х в результате испытаний примет значение, меньшее, чем х:

F(x)=P(X<x). (1.6.1)

Геометрическая трактовка формулы (1.6.1): F(x) – вероятность того, что на оси Ох случайная величина примет значение слева от фиксированной точки х. Ясно, что эта вероятность зависит от выбранного значения х, поэтому F – функция от х.

Иногда термин функция распределения заменяется термином интегральная функция распределения или интегральный закон распределения. Для непрерывной случайной величины функция F(x) является непрерывной и кусочно-дифференцируемой.

Свойства функции распределения

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]:

0F(x)1.

Это следует из определения вероятности.

2. F(x) – неубывающая функция, т.е. F(x₂)F(x₁), если x₂>x₁.

Доказательство. Событие, состоящее в том, что Х<x₂ можно разбить на следующие два несовместных события:

а) X<x₁ и

б) x₁X<x₂.

Вероятность первого события равна Р(Х<x₁)=F(x₁). Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных событий:

Р(X<x₂)=P(X<x₁)+P(x₁X<x₂),

F(x₂)=F(x₁)+P(x₁X<x₂),

F(x₂)–F(x₁)=P(x₁X<x₂).

Но вероятность P(x₁X<x₂)0 по определению, поэтому F(x₂)–F(x₁)0, F(x₂)F(x₁).

Следствие 1. Вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал (a;b) равна F(b)–F(a):

P(aX<b)=F(b)–F(a). (1.6.2)

Пример 1. Случайная величина задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытаний Х примет значение в интервале (0;2).

Решение. На этом интервале , поэтому P(0<X<2)=F(2)–F(0)= .

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Т.к. Р(x₁X<x₁+x)=F(x₁+x)–F(x), то при х0

P(X=x₁)=0.

Легко убедиться также, что

P(aX<b)=P(a<X<b)=P(a<Xb)=P(aXb),

т.к. добавление к промежутку одной точки не меняет вероятности попадания Х в новый промежуток.

Важно понять, что не имеет смысла говорить о вероятности того, что непрерывная случайная величина принимает одно определенное значение. Имеет смысл говорить только о вероятности попадания такой величины в некоторый интервал. Это вполне соответствует задачам практики.

3. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a;b), то:

а) при ха F(x)=0;

б) при хb F(x)=1.

(без доказательства).

Следствие. Если Х может принимать любые значения из интервала (–;), то:

Как выглядит график функции F(x)?

а) график полностью содержится в полосе 0y1;

б) F(x) – неубывающая функция х.

Примеры.

1)
2)

Замечание. Для дискретной случайной величины наряду с законом распределения можно также рассматривать и функцию распределения. Ее график имеет ступенчатый вид.

Пример. Дискретная случайная величина Х задана таблицей:

Х	1	4	8
Р	0,3	0,1	0,6

Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

Решение. Очевидно, что если х1, то F(x)=Р(X<x)=0. Если 1<x4, то случайная величина Х может принять только одно значение слева от х: х=1 и вероятность этого равна 0,3, т.е. F(x)=0,3. Если же 4<x8, то Х может принять либо значение х=1 с вероятностью 0,3, либо значение х=4 с вероятностью 0,1. Поэтому

F(x)=P(X<x)=P{X=1}+P{X=4}=0,3+0,1=0,4.

Наконец, если х>8, то F(x)=1, т.к. событие Х8 достоверное. Аналитически функцию распределения можно записать в виде

F(x)=

Ее график изображен ниже.