1.2. Случайные величины

1.2.1. Дискретная случайная величина и ее закон распределения

Во всех примерах с игральной костью (кубиком) мы оперируем числом очков, выпавшим на верхней грани. Это число может принять одно из шести дискретных значений: 1, 2, 3, 4, 5 или 6, но заранее неизвестно, какое именно значение выпадет. Можно сказать, что число выпавших очков – величина случайная, а числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 – возможные значения этой величины.

Дискретной случайной величиной называют величину, которая принимает отдельные, изолированные значения с некоторыми определенными вероятностями. Число возможных значений такой величины может быть либо конечным, либо бесконечным.

Случайные величины обозначают обычно прописными буквами Х, Y, Z, …, а их возможные значения – соответствующими строчными буквами x, y, z, … .

Примеры дискретных случайных величин с конечным числом значений: число родившихся детей в течение дня в населенном пункте, число пассажиров автобуса, число деревьев на некотором участке леса и т.д. А вот число выстрелов до первого попадания в цель – случайная величина, которая может принимать любое целое число (в самом деле, какое бы число выстрелов N ни произвести, всегда существует вероятность N промахов подряд).

Пример 1. Примером дискретной случайной величины является число дефектных изделий в партии из n штук. Если обозначить через Х это случайное число, то возможные значения случайной величины х таковы:

х₁=0, х₂=1, …, х_n+1=n.

Пример 2. Число попаданий в цель при трех выстрелах. Значения случайной величины Х: х₁=0, х₂=1, х₃=2, х₄=3.

Для дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее случайные значения. Может оказаться так, что две случайные величины принимают одинаковые значения, но вероятности этих значений для них различные. Простой пример: представим себе, что мы взяли 2 игральных кости; на грани первой кости выгравируем 2 раза цифру 1 и 4 раза цифру 2; на гранях второй кости сделаем то же самое, но цифру 1 используем 5 раз, а цифру 2 – один раз.

Пусть Х и Y – две случайные величины, которые соответствуют числу выпавших очков при бросании первой и второй костей. Ясно, что каждая из этих случайных величин может принимать всего два значения: 1 и 2. Но первая случайная величина гораздо реже принимает значение 1, чем вторая: в самом деле, вероятность принять значение 1 для случайной величины Х равна , а для Y – .

Можно привести множество таких примеров. Теперь становится ясно, что для задания случайной величины надо не только указать все ее возможные значения, но и вероятности того, что случайная величина принимает эти значения.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями. Это соответствие задают либо аналитически, с помощью формул, либо в виде таблицы или графика.

Пример табличного способа:

Х	х1	х2	…	xn
Р	p1	p2	…	pn

В этой таблице предполагается, что события Х=х₁, Х=х₂, …, Х=х_n – несовместные события, образующие полную группу, а их вероятности равны соответственно р₁, р₂, …, р_n, причем р₁+р₂+…+р_n=1.

Пример 1. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 500 рублей и 10 выигрышей по 50 рублей. Найти закон распределения случайной величины Х – значения возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Возможные значения случайной величины Х: х₁=500, х₂=50, х₃=0. Вероятности этих значений: ; ; р₃=1–(р₁+р₂)=1–0,11=0,89.

Закон распределения имеет вид:

Х	500	50	0
Р	0,01	0,1	0,89