1.1.9.2. Локальная теорема Муавра-Лапласа
Если пользоваться формулой Бернулли для больших n, приходится оперировать с громадными числами. Например, если n=50, m=30, р=0,1, то
Р50(30)=
(0,1)30(0,9)20,
где 50!3,041064; 30!2,651032; 20!2,431018.
При
еще в 1730 году Муавром была найдена
асимптотическая формула, справедливая
при больших n.
В 1783 году Лаплас обобщил эту формулу на произвольные значения р, отличные от 0 и 1. В литературе эту теорему обычно называют теоремой Муавра-Лапласа.
Доказательство теоремы выходит за рамки нашего курса. Приведем ее формулировку и примеры.
Теорема. Если вероятность р события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Рn(m) того, что событие А появится в n испытаниях m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции
(1.1.9.2)
при
,
.
Итак,
.
Пример 1. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в серии из 400 независимых испытаний, если вероятность этого события в каждом испытании равна 0,2.
Решение. n=400; m=80; p=0,2; q=0,8.
По формуле Муавра-Лапласа:
,
(0)=0,3989 (это значение вычисляется либо на калькуляторе, либо берется из специальных таблиц для функции (х), имеющихся в любой литературе по теории вероятностей).
Р400(80)0,04986.
Заметим, что точное значение, вычисленное по формуле Бернулли, равно 0,0498.
1.1.9.3. Интегральная теорема Лапласа
В предыдущих параграфах мы научились вычислять вероятность того, что в n независимых испытаниях событие произойдет m раз. Однако чаще бывает так, что необходимо знать не вероятность наступления события какое-то определенное число раз, а вероятность того, что это число заключено в некоторых границах.
Например, пусть требуется найти вероятность того, что из 1000 новорожденных окажется от 450 до 550 мальчиков включительно. Очевидно, искомое событие состоит в том, что мальчиков окажется 450, или 451, или 452 и т.д. вплоть до 550. По теореме сложения вероятность такого события равна сумме вероятностей:
Р1000(450m550)=P1000(450)+P1000(451)+…+P1000(550). (*)
Каждое слагаемое несложно вычислить по формуле Бернулли или по локальной теореме Муавра-Лапласа при известной вероятности рождения мальчика. Но вычисление 101 слагаемого, входящего в выражение (*) и их сложение – довольно длительная процедура, вряд ли удовлетворительная на практике. Поэтому возникает необходимость найти какой-то иной метод, который с помощью достаточно простых вычислений обеспечил бы достаточно точный результат. Ответ на этот вопрос дается так называемой интегральной теоремой Лапласа (дается без доказательства).
Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рn(m1,m2) того, что событие А появится в n испытаниях от m1 до m2 раз, приблизительно равна определенному интегралу
(1.1.9.3)
где
При практическом
решении задач с использованием формулы
(1.1.9.3) пользуются специальными таблицами,
т.к. интеграл
через элементарные функции не выражается.
Обычно в таблице даются значения так
называемой функции Лапласа:
. (**)
При этом (–х)=–(х).
Обычно таблицы приводятся для х[0;5],
т.к. при х>5 с
высокой точностью (х)
.
Чтобы воспользоваться функцией Лапласа
(**), выражение (1.1.9.3) надо преобразовать:
Итак,
Pn(m1,m2)=(x'')–(x'), (1.1.9.4)
где (1.1.9.5)
Пример. Найти вероятность того, что в серии из 1000 бросаний монеты число выпадения герба будет заключено в интервале от 475 до 525.
Решение. В этой задаче р= ; q= ; n=1000; np=500; npq=250; m1=475, m2=525.
Р1000(475; 525)=(х'')–(x')=(1,58)–(–1,58)=
=2(1,58)=20,4429=0,8858.