- •Введение
- •1.Основные понятия и принципы моделирования Определение моделирования
- •1.1. Принципы построения математических моделей
- •Обобщенная математическая модель
- •1.2. Оценка эффективности стратегий
- •1.3. Классификация задач исследования операций
- •1.4. Модели выбора решений в условиях определенности
- •2. Математическое программирование
- •2.1. Постановка задачи линейного программирования.
- •Формы записи задач линейного программирования
- •Решение задачи лп графическим методом :
- •Геометрическая интерпретация и графический метод решения задачи линейного программирования
- •3. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •2.1.1 Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •2.1.2Алгоритм симплекс метода отыскания оптимального решения задачи линейного программирования
- •2.1.3Примеры решения задач симплексным методом Пример 1. Найти максимум целевой функции
- •§4. Решение задачи лп двухфазным симплекс-методом
- •2.1.4 Задачи для закрепления полученных знаний
- •2.1.5. Двойственная задача
- •2.1.6Основные теоремы двойственности
- •2.1.7. Транспортная задача
- •2.1.8. Первоначальное распределение поставок
- •2.1.9. Правило "Северо-западного угла"
- •2.1.11. Метод потенциалов.
- •2.2. Модели динамического программирования
- •2.2.1. Постановка задачи динамического программирования
- •2.2.2. Принцип оптимальности и математическое описание динамического процесса управления
- •2.2.3. Оптимальное распределение инвестиций
- •2.2.3. Выбор оптимальной стратегии обновления оборудования
- •2.3. Сетевое моделирование. Методы и модели теории графов и сетевого моделирования
- •2.3.1. Элементы теории графов
- •2.3.2. Сетевое планирование и управление
- •2.3.3. Основные понятия и терминология, используемые в сетевом планировании
- •2.3.4. Порядок построения сетевых графиков
- •2.3.5. Правила построения сетевого графика.
- •2.3.6. Основные понятия сетевого графика
- •2.3.7. Временные параметры сетевых графиков
- •3. Задачи в условиях неопределенности
- •3.1. Системы массового обслуживания
- •3.1.1. Структура простейшей системы массового обслуживания.
- •3.1.2. Система массового обслуживания с отказом. Одноканальная система.
- •3.1.3. Системы массового обслуживания с ожиданием.
- •Имитационное моделирование
- •3.2.1. Основы имитационного моделирования
- •3.2.2. Метод статистических испытаний
- •3.2.3. Формирование случайных чисел на эвм
- •3.3. Модели прогнозирования. Задачи управления запасами
- •3.3.1.Основные понятия управления запасами
- •3.3.2. Классификация моделей управления запасами
- •3.3.3. Складская система
- •3.3.4. Спрос на товары
- •3.3.5. Возможность пополнения запасов
- •3.3.6. Затраты на функционирование системы управления запасами
- •3.3.7. Стратегия управления запасами
- •3.3.8. Основные детерминированные модели. Простейшая модель управления запасами ( модель 1)
- •3.3.9. Модель с учетом дефицита (модель 2)
- •С помощью этих соотношений исключим т1, т2, т и получим
- •Оптимальное значение
- •График зависимости уровня запаса на складе от времени
- •Методы и модели теории игр
- •3.4.1. Основные понятия теории игр
- •3.4.2. Постановка игровых задач
- •3.4.3. Методы решения игровых задач
- •3.4.4. Метод линейного программирования
- •Литература
1.3. Классификация задач исследования операций
По видам неконтролируемых факторов. Если неконтролируемых факторов нет или есть только фиксированные, то такие задачи относятся к задачам математического программирования. Среди задач со случайными неконтролируемыми факторами наиболее важными являются задачи массового обслуживания.
По видам критерия эффективности.
2.1. Если критерий эффективности представляет собой линейную функцию от переменных описывающих стратегии, а пространство стратегий задается системой линейных ограничений, то задача называется задачей линейного программирования.
2.2.Если по смыслу задачи, ее решения должны быть целыми числами, то получаем задачу целочисленного программирования.
2.3.Если критерий эффективности или ограничения, задающие пространство стратегий, являются нелинейными функциями, то имеем дело с задачей нелинейного программирования.
2.4.Если в задаче математического программирования имеется переменная времени, а критерий эффективности выражается через уравнения, описывающие развитие процесса во времени, то такая задача относится к динамическому программированию.
Для сложных экономических задач используются имитационные модели исследования, например, для управления запасами, совершенствования работы систем обслуживания, прогнозирование и т.п.
Большую роль при планировании поставок материальных ресурсов или календарном планировании последовательности работ играют сетевые графики.
1.4. Модели выбора решений в условиях определенности
В условиях определенности каждая стратегия ведет к единственному исходу, поэтому решение по ее выбору сводится к выбору исхода. Лучшая стратегия та, которая приведет к лучшему исходу, максимальной полезности, минимальным затратам, если описание исходов сведено к единственному критерию. В таких случаях при численной оценке исходов задача принятия решения сводится к нахождению экстремума целевой функции, что и указывает на оптимальность решения.
Рассмотрим пример распределения работников коммерческой сферы по операциям. Проведенный хронометраж по затратам времени каждого из трех коммерсантов на выполнение операций представлен в виде матрицы Т
Коммерсанты |
Затраты времени на выполнение операций в часах |
||
1 - закупка |
2 - сбыт |
3 – перевозка |
|
Иванов |
T11=2 X11=1 |
T12=2 X12=0 |
T13=4 X13=0 |
Сидоров |
T21=3 X21=0 |
T22=3 X22=0 |
T23=2 X23=1 |
Петров |
T31=6 X31=0 |
T32=1 X32=1 |
T33=5 X33=0 |
Допустим ,если работник i назначен на выполнение операции j , то хij =1, иначе хij=0. Решением задачи является матрица распределения Х коммерсантов по операциям.
Для оценки исходов используем в качестве критерия общее число человеко –часов Т, необходимых для выполнения всех операций. Из условия задачи следует, что каждой стратегии S соответствует альтернативное сочетание распределения по операциям.
Количество стратегий определяется числом возможных перестановок Р =п! =3!=6. Следовательно, мы имеем 6 альтернативных стратегий, каждая из которых приводит к исходу, определяемого целевой функцией вида
T = tij*xij --> min (1.3)
при следующих условиях ограничениях
xij =1 i =1,2, п (1.4)
xij =1 j =1,2, п (1.5)
xij =1 или 0 =1,2, (1.6)
Проведенные вычисления исходов для каждой стратегии представлены в виде таблицы , из которой оптимальную стратегию S находят по минимальной величине общих затрат Т =5 чел.-ч на все операции
Стратегии Исходы
S1 (x13 =x22 =x31 = 1) T1 = 4+3+6 =13
S2 (x12 =x23 =x31 = 1) T2 = 2+2+6 =10
S3 (x11 =x22 =x33 = 1) T3 = 2+3+5 =10
S4 (x13 =x21 =x32 = 1) T4 = 4+3+1 =8
S5 (x12 =x21 =x33 = 1) T5 = 2+3+5 =10
S6 (x11 =x23 =x32 = 1) T6 = 2+2+1 =5
Сложности решения проблемы даже в таких условиях определенности могут быть значительно большими, чем кажется на первый взгляд. Они увеличиваются при расширении масштабов задачи, когда растет число альтернативных стратегий . Так , например, в задаче распределения для 10 работников по 10 операциям число стратегий увеличивается до Р =10!=3 628 800. Однако эту задачу можно легко решить с помощью специальных методов, для чего следует представить ее в виде задачи линейного программирования.
Что Вы должны знать:
(вопросы для самоконтроля)
Что такое математическая модель?
Каково определение терминов «критерий», «стратегия», «операция»?
Каковы этапы моделирования?
Приведите примеры моделей из различных сфер деятельности человека.