3.4.2. Постановка игровых задач

Рассмотрим конечную парную игру с нулевой суммой. Игрок А имеет m стратегий (А₁ А₂ А_m), а игрок В – n стратегий ( В₁, В₂ Вn). Такая игра называется игрой размерностью m х n. Пусть а_ij - выигрыш игрока А в ситуации, когда игрок А выбрал стратегию А_i , а игрок В выбрал стратегию В_j. Выигрыш игрока в данной ситуации обозначим b_ij. Игра с нулевой суммой, следовательно, а_ij= - b_ij. Для проведения анализа достаточно знать выигрыш только одного из игроков, допустим А.

Если игра состоит только из личных ходов, то выбор стратегии (А_i, В_j),однозначно определяет исход игры. Если игра содержит также случайные ходы, то ожидаемый выигрыш – это среднее значение ( математическое ожидание).

Предположим, что значения а_ij известны для каждой пары стратегий(А_i, В_j). Составим прямоугольную таблицу , строки которой соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока В. Эта таблица называется платежной матрицей.

Цель игрока А максимизировать свой выигрыш, а цель игрока В минимизировать свой проигрыш.

Будем считать все а_ij> 0.

Таким образом, платежная матрица имеет вид:

	В1	В2		Вj		Вn
А1	a11	a12		a1j		a1n	1
А2	а21	а22		а2j		a2n	2
Аi	аi1	аi2		аij		аin	i
Аm	am1	аm2		аmj		amn	m
	1	2		j		n

Задача состоит в определении:

1. Наилучшей (оптимальной) стратегии игрока А из стратегий А₁ А₂ А_m;

2. Наилучшей (оптимальной) стратегии игрока В из стратегий В₁, В₂ Вn.

Для решения задачи применяется принцип, согласно которому участники игры одинаково разумны и каждый из них делает все для того, чтобы добиться своей цели.

3.4.3. Методы решения игровых задач

Принцип минимакса

Проанализируем последовательно каждую стратегию игрока А. Если игрок А выбирает стратегию А₁, то игрок В может выбрать такую стратегию В_j , при которой выигрыш игрока А будет равен наименьшему из чисел a_1j . Обозначим его ₁:

₁=min a_1j

^j

то есть ₁ – минимальное значение из всех чисел первой строки.

Это можно распространить на все строки. Поэтому игрок А должен выбрать ту стратегию, для которой число _i - максимально.

 =max _i

 =max min a_ij

^{i j}

Величина  - гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе игрок а при любом поведении игрока В. Величина  называется нижней ценой игры.

Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить свой проигрыш, то есть обратить выигрыш игрока А в минимум. Для выбора оптимальной стратегии он должен найти максимальное значение выигрыша в каждом столбце и среди них выбрать наименьшее.

Обозначим через _j максимальное значение в каждом столбце:

_j =max a_ij

ⁱ

Наименьшее значение _j обозначим .

 = min max a_ij

^{j i}

 называется верхней границей игры. Принцип, диктующий игрокам выбор игрокам соответствующих стратегий, называется принципом минимакса.

Существуют матричные игры, для которых нижняя цена игры равна верхней, такие игры называются играми с седловой точкой. В этом случае == называется чистой ценой игры, а стратегии А^*_i, В^*_j , позволяющие достичь этого значения - оптимальными. Пара (А^*_i, В^*_j )называется седловой точкой матрицы, так как элемент a_ij .=  одновременно является минимальным в i-строке и максимальным в j- столбце. Оптимальные стратегии А^*_i, В^*_j , и чистая цена являются решением игры в чистых стратегиях, т. е. без привлечения механизма случайного выбора.

Пример 1.

Пусть дана платежная матрица. Найти решение игры, т. е. определить нижнюю и верхнюю цены игры и минимаксные стратегии.

	В1	В2	В3	В4
А1	5	3	8	2	1=2
А2	1	6	4	3	2=1
А3	9	5	4	7	3=4
	1=9	2=6	3=8	4=7

Здесь ₁=min a_1j=min(5,3,8,2) =2

^j

₁= max a_i1 = max(5,1,9) =9 и так далее.

 =max min a_ij= max(2,1,4) =4

^{i j}

 = min max a_ij =min(9,6,8,7) =6

^j

таким образом, нижней цене игры (=4) соответствует стратегия А₃ .Выбирая эту стратегию, игрок А достигнет выигрыша не менее 4 при любом поведении игрока В. Верхней цене игры (=6) соответствует стратегия игрока В. Эти стратегии являются минимаксными. Если обе стороны будут придерживаться этих стратегий, выигрыш будет равен 4 (a₃₃).

Пример 2.

Дана платежная матрица. Найти нижнюю и верхнюю цены игры.

	В1	В2	В3
А1	5	1	2	1=1
А2	2	6	2	2=2
А3	3	4	3	3=3
	1=5	2=6	3=3

 =max min a_ij= max(1,2,3) =3

 = min max a_ij =min(5,6,3) =3

Следовательно,  ===3. Седловой точкой является пара (А^*₃, В^*₃ ). Если матричная игра содержит седловую точку, то ее решение находится по принципу минимакса.

Решение игр в смешанных стратегиях

Если платежная матрица не содержит седловой точки (<), то игрок А стремится увеличить выигрыш, а игрок В – уменьшить проигрыш. Если информация о действиях противной стороны отсутствует, то игроки будут многократно применять чистые стратегии случайным образом с определенной вероятностью. Такая стратегия в теории игр называется смешанной стратегией.

Для применения смешанных стратегий требуются следующие условия:

1. В игре отсутствует седловая точка.

2. Игроками используется случайная смесь чистых стратегий с соответствующими вероятностями.

3. Игра многократно повторяется в одних и тех же условиях.

4. При каждом из ходов игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком.

5. Допускается усреднение результатов игр.

В теории игр доказано, что любая парная игра с нулевой суммой имеет по крайней мере одно решение в смешанных стратегиях, отсюда следует, что каждая конечная игра имеет цену .  - средний выигрыш, приходящийся на одну партию, удовлетворяющий условию <=<= . Оптимальное решение игры в смешанных стратегиях обладает следующим свойством: каждый из игроков не заинтересован в отходе от своей оптимальной смешанной стратегии.

Стратегии игроков в их оптимальных смешанных стратегиях называются активными.

Теорема об активных стратегиях.

Применение оптимальной смешанной стратегии обеспечивает игроку максимальный средний выигрыш( или минимальный средний проигрыш), равный цене игры , независимо от того, какие действия предпринимает другой игрок, если он только не выходит за пределы своих активных стратегий.

Введем обозначения:

Р₁ Р₂ … Р_m - вероятности использования игроком А стратегий А₁ А_{2 …..} А_m;

_m

Р_i=1

ⁱ⁼¹

Q₁ Q₂ …Q_n вероятности использования игроком В стратегий В₁, В_2….. Вn

_n

 Q_i=1

ⁱ⁼¹

Смешанную стратегию игрока А запишем в виде:

А₁ А_{2 ….} А_m

S_A=

Р₁ Р₂ … Р_m

Смешанную стратегию игрока B запишем в виде:

B₁ B_{2 ….} B_n

S_B=

Q₁ Q₂ … Q_n

Зная платежную матрицу А, можно определить средний выигрыш ( математическое ожидание) М( А,P,Q):

_{m n}

М( А,P,Q)= a_ij Р_i Q_j

^{j=1 i=1}

Средний выигрыш игрока А:

 =max minМ( А,P,Q)

Средний проигрыш игрока В:

 = min maxМ( А,P,Q)

Обозначим через Р_А^* и Q_В^* векторы, соответствующие оптимальным смешанным стратегиям, при которых выполняется:

max minМ( А,P,Q) = min maxМ( А,P,Q)= М( А,P_А^*,Q_В^*)

При этом выполняется условие:

maxМ( А,P,Q_В^*) <=maxМ( А,P_А^*,Q_В^*)<= maxМ( А,P_А^*,Q)

Решить игру – это означает найти цену игры и оптимальные стратегии.

Геометрический метод определения цены игры и оптимальных стратегий

(Для игры 2Х2)

На оси абсцисс откладывается отрезок длиной 1.Левый конец этого отрезка соответствует стратегии А₁, правый – стратегии А₂.

По оси ординат откладываются выигрыши а₁₁ и а₁₂.

По линии , параллельной оси ординат из точки 1 откладываются выигрыши а₂₁ и а₂₂.

Если игрок В применяет стратегию В₁, то соединяем точки а₁₁ и а₂₁, если – В_2, то – а₁₂ и а₂₂.

Средний выигрыш изображается точкой N, точка пересечения прямых В₁В₁ и В₂В₂.Абсцисса этой точки равна Р₂ , а ордината цене игры - .

Прямая В₁В₁ называется стратегией В_1. Ордината любой точки отрезка В₁ В₁ равна величине выигрыша игрока А при применении им стратегии А₁, А₂, с соответствующими вероятностями Р₁ и Р₂ .

Ординаты точек отрезка В₂ В₂ равны среднему стратегий А₁, А₂, с соответствующими вероятностями Р₁ и Р₂ .Л оманая В₁NВ₂ – это нижняя граница выигрыша, получаемая игроком А. В точке N он максимален ().

В₁

N В₂

В_{2 }

В₁

Рис.3.9.

Пример.

Найти оптимальную смешанную стратегию руководителя предприятия и гарантированный средний выигрыш при выборе из двух новых технологий А₁, А₂. Известны выигрыши каждого вида технологий по сравнению со старой технологией. Матрица игры имеет вид

	В1	В2
А1	0,4	0,9	1=0,4
А2	0,6	0,5	2=0,5
	1=0,6	2=0,9

= max (0,4, 0,5)=0,5

= min (0,6, 0,9)=0,6

 не равна 

0,9

0,6

0,5

0,4 =0,55

р₁=0,625 р₂=0,375

Оптимальная стратегия

А ₁ А₂

S_A=

_{0,375 0.625}

=0,55

По сравнению с прежней технологией выигрыш составляет 55%.