3.3.8. Основные детерминированные модели. Простейшая модель управления запасами ( модель 1)

Рассмотрим задачу управления запасами товаров, на которые существует постоянный спрос. Интенсивность спроса, т.е. количество заявок на детали в единицу времени, обозначим через h. Отсутствие товаров на складе не допускается. Предполагается, что товары поступают на склад партиями объема п , а затраты на поставку одной партии– С l–постоянны и не зависят от объема партии. Затраты на хранение одной детали в единицу времени обозначим через Сs .общее время работы системы – Θ .

Задача состоит в определении такого объема партии n и периода пополнения запасов Т , при которых суммарные затраты на функционирование системы будут минимальны. В данном случае суммарные затраты состоят из затрат на поставку и затрат на хранение товаров. Пара чисел ( n, Т ) составляет стратегию функционирования системы; нас интересует оптимальная стратегия ( n, Т ).

График зависимости уровня запаса на складе от времени

n

T время

Θ

Рис.3.6..

З десь для определенности предполагается, что в начальный момент времени на складе находится вся партия объема n. Кроме того, пусть в период работы системы Θ укладывается целое число периодов пополнения запаса Т. тогда величина Θ /Т представляет собой число периодов пополнения запаса или число партий, поступающих на склад за время работы системы.

Система работает следующим образом: в начальный момент времени на складе п единиц товара, затем уровень запаса на складе начинает убывать с интенсивностью h и падает до нуля. Так как отсутствие товаров не допускается, то в этот момент времени на склад должна быть поставлена партия объема п. Здесь поставку можно считать мгновенной. Этот процесс повторяется до момента Θ с периодом Т.

Напишем функцию затрат. Затраты за один период состоят из затрат на поставку одной партии С l и затрат на хранение. Эти слагаемые пропорциональны времени хранения Т и среднему количеству хранимых товаров n2. Таким образом, суммарные затраты за период Т равны:

Cl+Cs*T*n/2

Общие затраты за время О составляют:

(Cl+Cs*T*n/2)* Θ /T

Учитывая, что

n =h*T

T=n/h

Суммарные затраты можно записать как функцию от n:

Г(n)=(Cl+Cs*T*n/2)* Θ /T

В этом выражении параметры h, Сl, Сs и Θ предполагаются известными. Необходимо найти оптимальный размер no, т. е. Такое значение n> 0, при котором функция принимает минимальное значение. Будем считать n непрерывной переменной. Тогда, используя необходимое условие экстремума функции Г(n) Г’(n)=0, получим

(-Cl* Θ *h/n)+Cs* Θ /2=0

Откуда, учитывая, что n>0:

n o= 2*Cl*h/Cs

Найдем вторую производную

Г”(n)=2*Cl*Θ*h/n³

Так как Г”(n)>0 при любых n>0, то n-точка абсолютного минимума функции Г(n).

Для случая дискретного спроса, когда n принимает натуральные значения, формула для n дает приближенное значение оптимального размера партии. Это значение нужно округлить до целого в большую и меньшую сторону и сравнить значения затрат Г(n) в обеих точках. Точка, соответствующая меньшему значению Г(n), и будет в этом случае давать величину оптимального размера партии.

Найдем теперь оптимальный период пополнения запасов. Учитывая, что

Тo=no/h

П олучим

Тo= 2*Cl/(h*Cs)

Вычислим теперь затраты при оптимальном размере партии:

Г o=Θ * 2*Cl*h*Cs

Таким образом, поставленная задача полностью решена. Дополнительно изучим чувствительность функции Г(n), т.е. найдем, изменятся затраты при отклонении размера партии от оптимального. Для этого определим зависимость величины Г/Гo от n/no:

Г/Го=1/2[(no/n)+(n/no)]

Оказалось, что величина Г/Гo непосредственно не зависит от параметров системы Сl,Сs,h, Θ.

В окрестности оптимального значения no значение функции Г/Гo мало меняется, т.е. отклонение размера партии от оптимального приводит к небольшому увеличению затрат. Например, если значение n будет в два раза больше ( или меньше) оптимального, то затраты увеличатся лишь на 25%