3.2.3. Формирование случайных чисел на эвм

При исследовании систем методом имитационного моделирования существенное внимание уделяется учету случайных факторов. В качестве математических схем, используемых для формализации этих факторов, используются случайные величины и случайные процессы. Формирование на ЭВМ реализаций случайных объектов любой природы сводится к выработке и преобразованию случайных чисел.

Количество случайных чисел, используемых для формирования одной реализации случайного процесса, колеблется в достаточно широких пределах. Поэтому наличие простых и экономичных способов формирования последовательности случайных чисел определяет возможность практического применения этого метода.

Рассмотрим основные способы образования последовательности случайных чисел.

В качестве исходной совокупности случайных чисел, используемых для образования случайных элементов различной природы, необходимо выбрать такую совокупность, которая может быть получена с наименьшими затратами машинного времени и обеспечивает простоту и удобство дальнейших преобразований.

Обычно этим требованиям удовлетворяет совокупность случайных чисел с равномерным распределением в интервале (0,1). С их помощью можно конструировать как случайные события с любой заданной вероятностью, так и случайные величины , имеющие любой закон распределения.

Напомним основные свойства равномерного распределения. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на интервале (а,в), если ее функция плотности равна

F(x)={ 1/(b-a) a<x<b

^{0 вне этого интервала}

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно равны:

M_x=(a+b)/2, S_x=(b-a)/(2 ₃)

Программные способы формирования случайной последовательности чисел, как правило используют рекуррентную формулу вида x_k+1=f(x_k) . Полученные таким образом случайные числа не являются случайными, но отвечают установленным критериям случайности. Поэтому их называют "псевдослучайными" числами.

Большинства программ получения псевдослучайных чисел используют метод:

x_k+1=(x_ka+c)mod m,

С помощью которого получаются равномерно распределенные целые числа в пределах от 0 до m-1 . для n -разрядных целых двоичных чисел m обычно равно 2ⁿ , а x₀ , а и с – целые числа из той же области. Рекомендуются следующие правила по выбору x₀ , а и с.

-x₀ – может быть произвольным.

-выбор а должен удовлетворять следующим требованиям:

а – простое число;

a(mod8)=5

m<a<m- m

-в качестве с следует выбирать нечетное число, такое, что

c/m=1/2-(1/6) ₃ =0.21132

библиотечная функция rand() ( прототип в файле <stdlib.h>) генерирует последовательность целых псевдослучайных чисел равномерно распределенных в интервале (0, 32767). Посредством функции srand() можно установить или восстановить исходное число последовательности псевдослучайных чисел.

Если целочисленное Х находится в пределах от 0 до m , то дробь x_k/m попадает в интервал (0,1).

Можно использовать директиву define

Define RND (float)rand()/32768.0

Переход от стандартного интервала (0,1) к произвольному (а,в) осуществляется по формуле

y=a+(b-a)x

Где y принадлежит равномерному распределению на интервале (a,b), а х – равномерному распределению на (0,1)

Нормальный закон наиболее часто встречается на практике. Он характеризуется плотностью вероятности

_{2 2}

F(x)=1(s 2x)n^{-(x-m) /2s}

Где m -математическое ожидание, s - среднее квадратическое отклонение величины Х.

Для получения последовательности случайных чисел x_k , имеющих нормальное распределение воспользуемся центральной предельной теоремой и построим x_k в виде сумм последовательных случайных чисел, имеющих равномерное распределение в интервале (0,1).

Стандартный алгоритм формирования случайных чисел Х, распределенных по нормальному закону с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением s , имеет вид

₁₂

y= ∑q_k-6, x=a+sy

^k=1

q_k принадлежит равномерному распределению на интервале (0,1), а у - нормальному на интервале (0,1) и х тоже нормальному , но на интервале (а,s).

Для формирования возможных значений случайной величины У с заданным законом распределения исходным материалом служат реализации случайной величины Х, имеющей равномерное распределение в интервале (0,1). Один из способов такого преобразования состоит в выполнении некоторой операции над числом Х.

Идея построения такой операции вытекает из теоремы: если величина У имеет плотность распределения f(y) , то распределение случайной величины

X= dy

Является равномерным в интервале (0,1).

Тогда, чтобы получить число, принадлежащее совокупности случайных чисел {y_k} , необходимо разрешить относительно y уравнение:

dy=x_k

Применим это правило для получения случайных чисел имеющих показательный закон распределения

f(y)=λe^-λy (y>0)

Получим для верхнего предела интегрирования у_к

Где у_к -случайное число, имеющее равномерное распределение в интервале (0,1) или, после вычисления интеграла

λ-e^-λy=x_k

Разрешая это уравнение относительно _Уk , имеем

y_k=(-1/λ)ln(1-x_k)

Учитывая, что случайная величина 1-x_k , имеет также равномерный закон распределения в интервале (0,1), соотношение можно записать

y_k=(-1/λ)ln(x_k)

Таким образам могут быть построены процедуры и для других законов распределения.