- •Введение
- •1.Основные понятия и принципы моделирования Определение моделирования
- •1.1. Принципы построения математических моделей
- •Обобщенная математическая модель
- •1.2. Оценка эффективности стратегий
- •1.3. Классификация задач исследования операций
- •1.4. Модели выбора решений в условиях определенности
- •2. Математическое программирование
- •2.1. Постановка задачи линейного программирования.
- •Формы записи задач линейного программирования
- •Решение задачи лп графическим методом :
- •Геометрическая интерпретация и графический метод решения задачи линейного программирования
- •3. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •2.1.1 Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •2.1.2Алгоритм симплекс метода отыскания оптимального решения задачи линейного программирования
- •2.1.3Примеры решения задач симплексным методом Пример 1. Найти максимум целевой функции
- •§4. Решение задачи лп двухфазным симплекс-методом
- •2.1.4 Задачи для закрепления полученных знаний
- •2.1.5. Двойственная задача
- •2.1.6Основные теоремы двойственности
- •2.1.7. Транспортная задача
- •2.1.8. Первоначальное распределение поставок
- •2.1.9. Правило "Северо-западного угла"
- •2.1.11. Метод потенциалов.
- •2.2. Модели динамического программирования
- •2.2.1. Постановка задачи динамического программирования
- •2.2.2. Принцип оптимальности и математическое описание динамического процесса управления
- •2.2.3. Оптимальное распределение инвестиций
- •2.2.3. Выбор оптимальной стратегии обновления оборудования
- •2.3. Сетевое моделирование. Методы и модели теории графов и сетевого моделирования
- •2.3.1. Элементы теории графов
- •2.3.2. Сетевое планирование и управление
- •2.3.3. Основные понятия и терминология, используемые в сетевом планировании
- •2.3.4. Порядок построения сетевых графиков
- •2.3.5. Правила построения сетевого графика.
- •2.3.6. Основные понятия сетевого графика
- •2.3.7. Временные параметры сетевых графиков
- •3. Задачи в условиях неопределенности
- •3.1. Системы массового обслуживания
- •3.1.1. Структура простейшей системы массового обслуживания.
- •3.1.2. Система массового обслуживания с отказом. Одноканальная система.
- •3.1.3. Системы массового обслуживания с ожиданием.
- •Имитационное моделирование
- •3.2.1. Основы имитационного моделирования
- •3.2.2. Метод статистических испытаний
- •3.2.3. Формирование случайных чисел на эвм
- •3.3. Модели прогнозирования. Задачи управления запасами
- •3.3.1.Основные понятия управления запасами
- •3.3.2. Классификация моделей управления запасами
- •3.3.3. Складская система
- •3.3.4. Спрос на товары
- •3.3.5. Возможность пополнения запасов
- •3.3.6. Затраты на функционирование системы управления запасами
- •3.3.7. Стратегия управления запасами
- •3.3.8. Основные детерминированные модели. Простейшая модель управления запасами ( модель 1)
- •3.3.9. Модель с учетом дефицита (модель 2)
- •С помощью этих соотношений исключим т1, т2, т и получим
- •Оптимальное значение
- •График зависимости уровня запаса на складе от времени
- •Методы и модели теории игр
- •3.4.1. Основные понятия теории игр
- •3.4.2. Постановка игровых задач
- •3.4.3. Методы решения игровых задач
- •3.4.4. Метод линейного программирования
- •Литература
2.2.2. Принцип оптимальности и математическое описание динамического процесса управления
При решении задачи на каждом шаге выбирается управление, которое должно привести к оптимальному выигрышу. В многошаговых процессах управление на каждом конкретном шаге надо выбирать с учетом его будущих воздействий на весь процесс. Кроме этого следует учитывать возможные варианты состояния предыдущего шага.
В задачах ДП первое требование учитывают, делая на каждом шаге условные предположения о возможных вариантах окончания предыдущего шага и проводя для каждого шага условную оптимизацию. Выполнение второго требования обеспечивается тем, что в этих задачах условная оптимизация проводится от конца процесса к началу.
Условная оптимизация
Определяются функция Беллмана и оптимальные управления для всех возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего в соответствии с алгоритмом обратной прогонки. На последнем , n-ом шаге оптимальное управление -- х*n определяется функцией Беллмана
F(S)=max{Wn(S,xn)} xkX
В соответствии с которой максимум выбирается из всех возможных значений х , причем xkX .
Дальнейшие производятся согласно рекуррентному соотношению:
Fn(S)=max{Wn(S,xn)+Fk+1(S1(S,xk))} xkX
Этот максимум (или минимум) определяется по всем возможным для к и S значениям переменной управления Х.
Безусловная оптимизация.
Пользуясь тем , что на первом шаге (к=1) состояние системы известно – это ее начальное состояние S0, можно найти оптимальный результат за все n шагов и оптимальное управление на первом шаге х1 , после применения этого управления система перейдет в другое состояние S1(S,x*1), зная которое можно, пользуясь результатами условной оптимизации, найти оптимальное управление на втором шаге х*2 , и так далее до последнего n-го шага.
2.2.3. Оптимальное распределение инвестиций
Требуется распределить имеющиеся В единиц средств среди n предприятий, доход gi(xi) от которых в зависимости от количества вложенных средств хi определяется матрицей (n x n) приведенной в табл.1, так , чтобы суммарный доход со всех предприятий был бы максимальным.
Таблица 1
|
g1 |
g2 |
- |
gi |
- |
gn |
x1 |
g1(x1) |
g2(x1) |
|
gi(x1) |
- |
gn(x1) |
x2 |
g1(x2) |
g2(x2) |
|
gi(x2) |
- |
gn(x2) |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
xn |
g1(xn) |
g2(xn) |
- |
gi(xn) |
- |
gn(xn) |
Запишем математическую модель задачи.
Определить Х* = (х*1 ,х*2 ,… х*k ,… х*n ), удовлетворяющий условиям
n
xi=B
i=1
xi>=0, i=1,n
и обеспечивающий максимум целевой функции.
n
F(X)= gi(xi)-->max
i=1
Задача может быть решена путем перебора всех возможных вариантов распределения средств по n предприятиям. Но решим ее более эффективным способом, который заключается в следующем:
Разобьем процесс оптимизации на n шагов и будем на каждом к-ом шаге оптимизировать инвестирование не всех предприятий , а только предприятий с к-го по n-ое. При этом считаем, что в остальные предприятия (с 1-го по к-1) тоже вкладываются средства, и поэтому инвестирование предприятий с к-го по n-ое остаются не все средства , а сумма Ck<=B
Эта величина будет являться переменной состояния системы. Переменной управления на к-ом шаге назовем величину хk средств вкладываемых в к-ое производство. В качестве функции Беллмана Fk(Ck) на к-ом шаге можно выбрать максимально возможный доход, который можно получить с предприятий с к-го по n-ый при условии, что на их инвестирование осталось Ck средств. Очевидно, что при вложении в к-ое предприятие хk средств будет получена прибыль gk(xk) , а система к к+1-му шагу перейдет в состояние Sk+1 и , следовательно, на инвестирование предприятий с к-го по n-ое останется
Ck+1=(Ck-xk)
средств.
Т.o, на первом шаге условной оптимизации при к=n функция Беллмана представляет прибыль только n-го предприятия. При этом на его инвестирование может остаться средств Сn , 0<= С<= В, чтобы получить максимум прибыли с этого предприятия надо вложить в него все оставшиеся средства.
Fn(Cn)=gn(Cn) xn=Cn
На каждом последующем шаге для вычисления функции Беллмана необходимо использовать результаты предыдущего шага. Пусть на к-ом шаге для инвестирования предприятий с к-го по n-е осталось Ск средств, 0<= Ск<= В, тогда от вложения к-е предприятие хк средств будет получена прибыль gk(xk),а на инвестирование остальных предприятий с к-го по n-е Ck+1=(Ck-xk).
Максимальный доход , который может быть получен с предприятий ( с к-го по n-е)
Fк(Ск)=max{ gk(xk)+Fk+1(Ck-xk )} к=1,n
Максимум этого выражения достигается на некотором значении х*k . Действуя таким образом, можно определять функции Беллмана и оптимальные управления до шага к=1.
Значение функции Беллмана F1(C1) представляет собой максимально возможный доход со всех предприятий, а значение х*1 , на котором достигается максимум дохода, является оптимальным количеством средств, вложенных в первое предприятие. Далее на этапе безусловной оптимизации для всех последующих предприятий вычисляется величина Ck+1=(Ck-xk).
И оптимальное управление на к-ом шаге является то значение хk ,которое обеспечивает максимум дохода при соответствующем состоянии системы Sk .
Пример.
На развитие трех предприятий выделено 5 млн. руб. Известна эффективность капитальных вложений в каждое предприятие, заданная значением нелинейной функции gk(xk) представленной в таблице 2. Необходимо распределить выделенные средства между предприятиями таким образом, чтобы получить максимальный суммарный доход.
Для упрощения предполагаем, что распределение средств осуществляется в целых числах хk =(0,1,2,3,4,5) млн. руб.
Таблица 2
-
x
g1
g2
g3
0
0
0
0
1
2,2
2
2,8
2
3
3,2
5,4
3
4,1
4,8
6,4
4
5,2
6,2
6,6
5
5,9
6,4
6,9
Решение.
Условная оптимизация.
1-ый шаг,k=3. Предположим, что все средства в количестве х3 вложены в третье предприятие. В этом случае максимальный доход составит g3=6,9 тыс. руб., следовательно F3(C3)= g3(x3)
Таблица 3
С\X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
F3(C3) |
X*3 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
2,8 |
|
|
|
|
2,8 |
1 |
2 |
|
|
5,4 |
|
|
|
5,4 |
2 |
3 |
|
|
|
6,4 |
|
|
6,4 |
3 |
4 |
|
|
|
|
6,6 |
|
6,6 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
6,9 |
6,9 |
5 |
2-й шаг: Определяем оптимальную стратегию при распределении средств между вторым и третьим предприятиями. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:
F2(С2)=max{ g2(x2)+F3(C2-x2)}
На основе которого составлена таблица 4.
Таблица 4
С\X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
F2(C2) |
X*2 |
0 |
0+0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0+2,8 |
2+0 |
|
|
|
|
2,8 |
0 |
2 |
0+5,4 |
2+2,8 |
3,2+0 |
|
|
|
5,4 |
0 |
3 |
0+6,4 |
2+5,4 |
3,2+2,8 |
4,8+0 |
|
|
7,4 |
1 |
4 |
0+6,6 |
2+6,4 |
3,2+5,4 |
4,8+2,8 |
6,2+0 |
|
8,6 |
2 |
5 |
0+6,9 |
2+6,6 |
3,2+6,4 |
4,8+5,4 |
6,2+2,8 |
6,4+0 |
10,2 |
3 |
Таблица 5
С\X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
F1(C1) |
X*1 |
0 |
0+0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0+2,8 |
2,2+0 |
|
|
|
|
2,8 |
0 |
2 |
0+5,4 |
2,2+2,8 |
3+0 |
|
|
|
5,4 |
0 |
3 |
0+7,4 |
2,2+5,4 |
3+2,8 |
4,1+0 |
|
|
7,6 |
1 |
4 |
0+8,6 |
2,2+7,4 |
3+5,4 |
4,1+2,8 |
5,2+0 |
|
9,6 |
1 |
5 |
0+10,2 |
2,2+8,6 |
3+7,4 |
4,1+5,4 |
5,2+2,8 |
5,9 |
10,8 |
1 |
Безусловная оптимизация.
Определяем компоненты оптимальной стратегии.
1-й шаг: По данным табл.5. максимальный доход при распределении5 млн. руб. между тремя предприятиями составляет С1=5, F1(C1)=10,8, при этом первому предприятию нужно выделить X*1=1 млн. руб.
2-й шаг.Определяем величину оставшихся средств, приходящих на долю второго и третьего предприятий.
С2=С1-Х*1=5-1=4 млн. руб.
По данным табл. 4 находим, что оптимальный вариант распределения средств размером 4 млн. руб. между вторым и третьим предприятиями составляет F2(C2)=8,6 при выделении второму предприятию X*2=2 млн. руб.
3-й шаг. Определяем величину оставшихся средств, приходящихся на долю третьего предприятия.
С3=С2-Х*2=4-2=2 млн. руб.
По данным табл. 3 находим: F3(C3)=5,4 и X*3=2 млн. руб.
Таким образом, оптимальный план инвестирования предприятий:
Х*=(1,2,2),
который обеспечит максимальный доход, равный:
F(5)=g1+ g2+g3=2,2+3,2+5,4=10,8 млн. руб.