2.1.6Основные теоремы двойственности
Теорема 1.
Если задача линейного программирования имеет конечный оптимум, то двойственная к ней также имеет конечный оптимум, и оптимальные значения линейных форм обеих задач совпадают, т.е.
Fmax=Zmin или Fmin=Zmax
Замечание.
Если линейная форма одной из двойственных задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.
Теорема 2.
Компоненты оптимального решения задачи линейного программирования равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных в выражении линейной формы двойственной ей задачи при достижении ею оптимума.
Замечание.
Если в одной из задач (прямой или двойственной) нарушается единственность оптимального решения, то оптимальное решение другой задачи будет вырожденным.
Из теорем 1 и 2 следует вывод, что, решив одну из взаимно двойственных задач, т.е. найдя её оптимальное решение и оптимум линейной формы, мы можем записать оптимальное решение оптимум линейной формы другой задачи.
Соответствие между переменными исходной и двойственной задачи:
X1 X2 ...Xn Xn+1 Xn+2 ...Xn+m
| | | | | |
Ym+1 Ym+2 ...Ym+n Y1 Y2 ...Ym
Теорема об оценках, экономическая интерпретация двойственной задачи.
Значения переменных Yi в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов Bi системы ограничений исходной задачи на величину Fmax,т.е.
Yi=dFmax/dBi (2.10)
Эта теорема показывает ещё одну связь между прямой и двойственной задачами.
Пусть (X1,X2...Xn)-оптимальное решение исходной задачи, а (Y1,Y2...Yn)-оптимальное решение двойственной задачи.
Оптимальные значения целевых функций F и Z достигаются при подстановке компонент оптимального решения в их первоначальные выражения,т.е.
Fmax=C1X1+C2X2+...+CnXn (2.11)
Zmin=B1Y1+B2Y2+...+BmYm (2.12)
На основании первой теоремы двойственности (Fmax=Zmin) можно записать:
C1X1+C2X2+...+CnXn=B1Y1+B2Y2+...+BmYm (2.13)
Отсюда следует, что
Fmax=B1Y1+B2Y2+...+BmYm (2.14)
Посмотрим, как изменится величина Fmax, если в исходной задаче увеличить свободный член Bi на величину ΔBi.
Величина Fmax, рассматриваемая теперь как функция переменных B1,B2,...Bm, получит приращение ΔFmax. Продифференцируем функцию Fmax по переменным Bi и найдем дFmax.
дFmax=YiдBi (2.15)
Учитывая, что функция Fmax линейная, получим:
в конечных приращениях
ΔFmax=YiΔBi (2.16)
Приращение максимума целевой функции пропорционально приращению свободного члена с коэффициентом влияния равным соответствующему значению переменной двойственной задачи.
первое
свойство двойственных оценок:
двойственные оценки уi
(i =
),
— являются инструментом балансирования
затрат и результатов.
Рассмотрим следствие, вытекающее из первой теоремы, которое представлено в виде второй теоремы двойственности.
Теорема 2 (о дополняющей нежесткости).
-
Для того, чтобы планы
*
и
*
пары двойственных задач были
оптимальными, необходимо и достаточно
выполнение условия:х
(
)
= 0, (j
=
)
(5.8.)у
(
)
= 0, (i
=
)
(5.9.)
Условия (5.8.) и (5.9.) называются условиями дополняющей нежесткости. Из них следует, что если какое-либо ограничение одной из задач ее оптимальным планом обращается в строгое неравенство, то соответствующая компонента оптимального плана двойственной задачи должна равняться нулю; если же какая-либо компонента оптимального плана одной из задач положительна, то соответствующее ограничение в двойственной задаче ее оптимальным планом должно обращаться в строгое равенство.
Что Вы должны знать:
(вопросы для самоконтроля)
Как составить двойственную задачу?
Каковы теоремы двойственности?
Как определить решение двойственной задачи из решения прямой?
Как интерпретировать экономический смысл двойственной задачи?
Пример построения и решения двойственной задачи:
Исходная задача линейного программирования:
F=4X1+6X2 Fmax=?
При ограничениях:
X1+X2<=18
0,5X1+X2<=12
2X1<=27
X2<=9
X1,Х2>=0
Двойственная задача: Найти минимум целевой функции:
Z=18Y1+12Y2+27Y3+9Y4 Zmin=?
Y1+0,5Y2+2Y3>=4
Y1+Y2+Y4>=6
Y1, Y2, Y3, Y4>=0
Исходную задачу можно решить геометрическим способом
Результат :
Х1=12; Х2=6; Fmax=12*4+6*6=84.
Для решения двойственной задачи необходимо найти значения дополнительных переменных Х3, Х4, Х5, Х6 из уравнений:
X1+X2+Х3=18
0,5X1+X2+Х4=12
2X1+ Х5=27
X2+Х6=9
Подставляя значения Х1=12 и Х2=6 в эту систему, найдем значения Х3=0, Х4=0, Х5=3,Х6=3.
По таблице соответствия :
X1 X2 Х3 X4 X5 X6
| | | | | |
Y5 Y6 Y1 Y2 Y3 Y4
Ненулевым значениям Х соответствуют нулевые значения Y, следовательно:
Y3=Y4=Y5=Y6=0
В уравнениях:
Y1+0,5Y2+2Y3-Y5=4
Y1+Y2+Y4-Y6=6
Решая данную систему, получаем Y1=2, Y2=4.
Значение целевой функции
Z=2*18+4*12=84
Таким образом, решена двойственная задача и получено подтверждение первой теоремы.
При решении исходной задачи симплексным методом значения переменных двойственной задачи (Yi) можно найти в F строке с учетом таблицы соответствия.
Примеры для закрепления:
В примерах 1 и 2 построить задачи двойственные к исходным, решить их симплексным методом и найти решения исходных задач, используя решения двойственных.
1) F(x)=2x1+3x2+x3+4x4 min 2) F(x)=x1+2x2+3x3 min
3x1+2x2+x3+6x4>=12 x1-x2+2x3<=1
x1+4x2+2x3+x4>=20 x1 +x3>=1
2x1+x2+8x3+4x4>=8 x2 + x3>=1
x1, x2, x3, x4>=0 x1, x2, x3>=0