2.1.4 Задачи для закрепления полученных знаний

В задачах 1 и 2 найти оптимальные решения геометрическим и симплексным методами.

1) F(x)=x₁+2x₂max 2) F(x)=x₁+2x₂max

4x₁+3x₂ <=24 -3x₁+4x₂ <=12

-x₁+x₂ <=3 3x₁+4x₂ <=30

x₁>=0, x₂>=0 x₁>=0, x₂>=0

2.1.5. Двойственная задача

Определение:

Две задачи линейного программирования называются взаимно-двойственными, если они обладают следующими свойствами:

1. В одной задаче ищется максимум, а в другой минимум целевой функции.

2. Коэффициенты при переменных в линейной форме одной задачи являются свободными членами системы ограничений другой задачи и, наоборот, свободные члены системы ограничений одной задачи являются коэффициентами при переменных в линейной форме другой задачи.

3. В каждой задаче система ограничений задаётся в виде неравенств, причём все они одного смысла, а именно: в задаче, в которой ищется максимум линейной формы, все неравенства вида "<=", а в задаче, в которой находится минимум линейной формы, противоположного смысла, т.е.">=".

4. Коэффициенты при переменных систем ограничений описываются матрицами, транспонированными относительно друг друга.

5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче.

6. Условия не отрицательности переменных сохраняются в обеих задачах.

Отсюда вытекает правило составления задачи, двойственной к исходной.

Необходимо привести неравенства системы ограничений исходной задачи к одному виду. Для этого неравенства, у которых вид не соответствует типу задачи, необходимо умножить на (-1).Далее преобразовать исходную задачу, руководствуясь свойствами (1-6).

В общем виде модели симметричных двойственных задач имеют сле­дующий вид:

Прямая или исходная	Двойственная
f = max (I)	φ = min (II)

Пусть нам дана задача линейной оптимизации в общем виде, тогда двойственная к ней примет вид:

Прямая или исходная	Двойственная
f = max (II)	φ = min (II`)

Свойство двойственности является взаимным, т.е. если к задачам (I`) и (II`) записать двойственные, то они совпадут с задачами (I) и (II) соответственно. Любую задачу внутри двойственной пары можно назвать прямой или исход­ной, тогда другая будет двойственной к ней.

Исходная задача. Найти максимум целевой функции:

F=C₁X₁+C₂X₂+...+C_nX_n (2.6)

При ограничениях:

A ₁₁X₁+A₁₂X₂+...+A_1nX_n<=B₁

A₂₁X₁+A₂₂X₂+...+A_2nX_n<=B₂

... (2.7)

A_m1X₁+A_m2X₂+...+A_mnX_n<=B_m

X_J>=0

_J=1..n

Max(F)=?

Двойственная задача: Найти минимум целевой функции:

Z=B₁Y₁+B₂Y₂+...+B_mYm (2.8)

A₁₁Y₁+A₂₁Y₂+...+A_m1Y_n>=C₁

A₁₂Y₁+A₂₂Y₂+...+A_2nY_n>=C₂

... (2.9)

A_1nY₁+A_2nY₂+...+A_mnY_m>=C_m

Y_J>=0

_J=1..m

Min(Z)=?