МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный университет информационных

технологий, механики и оптики»

УТВЕРЖДАЮ

Зам. декана по УР

___________________М.М.Говорова

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ИССЛЕДОВАНИИ ОПЕРАЦИЙ

Учебное пособие для студентов ФСПО

По специальности 230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»

Санкт-Петербург

2005

Учебное пособие составлено в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Математические методы» по специальности 230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» преподавателем ФСПО:

Вавиловой Еленой Павловной

одобрено предметной (цикловой) комиссией специальных дисциплин (230105)

Протокол №___ от «___»_______________г.

Председатель:

__________________ Вавилова Е.П..

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 6

1.Основные понятия и принципы моделирования 6

1.1. Принципы построения математических моделей 7

1.2. Оценка эффективности стратегий 9

1.3. Классификация задач исследования операций 9

1.4. Модели выбора решений в условиях определенности 10

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 11

2.1. Постановка задачи линейного программирования. 12

16. Рис 2. 22

3. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования 23

2.1.1 Симплексный метод решения задач линейного программирования 25

2.1.2Алгоритм симплекс метода отыскания оптимального решения задачи линейного программирования 26

2.1.3Примеры решения задач симплексным методом 27

Пример 1. Найти максимум целевой функции 27

2.1.4 Задачи для закрепления полученных знаний 31

2.1.5. Двойственная задача 31

2.1.6Основные теоремы двойственности 33

2.1.7. Транспортная задача 36

2.1.8. Первоначальное распределение поставок 37

2.1.9. Правило "Северо-западного угла" 37

Потребители 40

Потребители 40

Потребители 41

Потребители 41

2.2. Модели динамического программирования 43

2.2.1. Постановка задачи динамического программирования 43

2.2.2. Принцип оптимальности и математическое описание динамического процесса управления 44

2.2.3. Оптимальное распределение инвестиций 44

F(X)= g_i(x_i)-->max 45

2.2.3. Выбор оптимальной стратегии обновления оборудования 47

2.3. Сетевое моделирование. Методы и модели теории графов и сетевого 51

моделирования 51

2.3.1. Элементы теории графов 51

2.3.2. Сетевое планирование и управление 55

2.3.3. Основные понятия и терминология, используемые в сетевом планировании 55

2.3.4. Порядок построения сетевых графиков 56

2.3.5. Правила построения сетевого графика. 56

2.3.6. Основные понятия сетевого графика 57

2.3.7. Временные параметры сетевых графиков 57

3. ЗАДАЧИ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 60

3.1. Системы массового обслуживания 60

3.1.1. Структура простейшей системы массового обслуживания. 60

3.1.2. Система массового обслуживания с отказом. Одноканальная система. 61

3.1.3. Системы массового обслуживания с ожиданием. 63

Имитационное моделирование 65

3.2.1. Основы имитационного моделирования 65

3.2.2. Метод статистических испытаний 66

3.2.3. Формирование случайных чисел на ЭВМ 69

3.3. Модели прогнозирования. Задачи управления запасами 70

3.3.1.Основные понятия управления запасами 71

3.3.2. Классификация моделей управления запасами 71

3.3.3. Складская система 71

3.3.4. Спрос на товары 72

3.3.5. Возможность пополнения запасов 72

3.3.6. Затраты на функционирование системы управления запасами 72

3.3.7. Стратегия управления запасами 72

3.3.8. Основные детерминированные модели. Простейшая модель управления запасами ( модель 1) 72

3.3.9. Модель с учетом дефицита (модель 2) 74

Т₁*h=s, Т₂*h=n-s, Т*h=n 75

С помощью этих соотношений исключим Т₁, Т₂, Т и получим 75

nо =2*Сl*h*(Сs + Ср)/(С*Ср) 75

Оптимальное значение 75

3.3.10. Модель с учетом интенсивности поставок (модель 3) 75

В моделях 1 и 2 предполагалось, что заказанные n единиц товара поступают на склад в виде партии объема n, т.е. все n единиц товара поставляются одновременно. 75

График зависимости уровня запаса на складе от времени 75

Сs*Т*s/2= Сs*Т₁*s/2 + Сs*Т₂*s/2 76

Сl+Сs*Т*s/2 76

Г(s )=(Сl + Сs*Т*s/2 )* Θ /Т 76

Методы и модели теории игр 76

3.4.1. Основные понятия теории игр 77

3.4.2. Постановка игровых задач 78

3.4.3. Методы решения игровых задач 78

3.4.4. Метод линейного программирования 81

ЛИТЕРАТУРА 83

Введение

ЭВМ прочно вошла в нашу жизнь, и практически нет такой области человеческой деятельности, где не применялась бы ЭВМ. ЭВМ сейчас широко используется в процессе создания и исследования новых машин, новых технологических процессов и поиске их оптимальных вариантов; при решении экономических задач, при решении задач планирования и управления производством на различных уровнях. Создание же крупных объектов в ракетотехнике, авиастроении, судостроении, а также проектирование плотин, мостов, и др. вообще невозможно без применения ЭВМ.

Для использования ЭВМ при решении прикладных задач, прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель. В широком смысле модель определяют как отражение наиболее существенных свойств объекта. Математическая модель технического объекта - совокупность математических объектов и отношений между ними, которая адекватно отражает свойства исследуемого объекта, интересующие исследователя (инженера).Предпосылками для возникновения и развития моделирования производственных и экономических процессов явились проблемы управления физическими и техническими объектами и коллективами людей в процессе их целенаправленной деятельности.

Стимулировали это развитие два фактора:

1. Чрезмерное усложнение организационных форм, регулирующих человеческую деятельность.

2. Появление новых средств исследования, обеспечивающих возможность поставить решение этих проблем на научную основу. При этом основную роль играет развитие вычислительной техники и сопровождающее увеличение программного обеспечения.

Количественный аспект анализа экономических явлений и процессов всегда занимал большое место в работах классиков отечественной и зарубежной экономики. Среди них наиболее известные О. Курно, К. Маркс, Ф Кенэ, Канторович и др.

Практика подтверждает, что все созданное, построенное возникает вначале в воображении человека в различных вариантах, потом из них выбирается один, который воплощается в жизнь. Основываясь на своем опыте, интуиции и здравом смысле, люди полагали, что принятие хороших и мудрых решений было и остается во многом искусством, Однако стало возможным часть этого искусства сделать наукой, базирующейся на математических методах. Необходимость использования таких методов диктуется тем, что последствия принимаемых решений могут касаться большого числа людей и быть связаны с огромными затратами.

Математическая культура специалистов требует приобретения практических навыков по переводу производственной или экономической деятельности на математический язык. В этом и состоит одна из проблем овладения искусством математического моделирования.

Целью учебного пособия является изложение основополагающих понятий и моделей экономических, производственных, коммерческих и финансовых операций, необходимых для решения как учебных, так и практических задач.