1.6. Фрактальные размерности

Одной из первых характеристик, пригодных для описания фракталов, была размерность, введенная Ф. Хаусдорфом в 1919 г. Начнем однако с более простого определения.

Пусть имеется некоторое множество S в р-мерном пространстве. Будем покрывать это множество р-мерными шарами диаметром . В некоторых случаях вместо шаров удобно использовать р-мерные кубы со стороной . Минимальное количество шаров, необходимых для полного покрытия, обозначим N( ). Величина

(1.4)

называется фрактальной размерностью или ёмкостью множества S. Индекс "с" (от англ. capacity) указывает на второе название введенной раз­мерности. Согласно (1.4)

. (1.5)

Для простых геометрических объектов величина d_c совпадает с их топологической размерностью . Действительно, число шаров диаметра , необходимых для покрытия отрезка, равно N( ) = L/ , где L – длина отрезка. Тогда из (1.4), (1.5) видно, что = 1. Аналогично, для покрытия квадрата площадью требуется число кубов (со стороной ), равное N( ) = / ², так что согласно (1.5) = 2, и т.д.

Принципиально иная ситуация возникает в случае фрактальных множеств. Рассмотрим сначала канторово (триадическое) множество. Исходный отрезок покрывается одним шаром диаметра = 1. После первого шага требуется N = 2 шара диаметром = 1/3. На следующем шаге уже требуется N= 2² шаров диаметром = 1/3², Вообще, на n-шаге необходимо N = 2^п шаров диаметром = 1/3ⁿ. По формуле (1.4) находим

(1.6)

Таким образом, для канторова множества размерность является дробной, причем 0 <d_c< 1.

В качестве второго примера рассмотрим ковер Серпинского (рис. 1.10). Подобно тому, как было сделано выше), находим, что исходный квадрат покрывается N = 1 кубом со стороной = 1. После первого шага требуется N = 8 кубов со стороной = 1/3 и т. д. После n-го шага построения потребуется N = 8ⁿ кубов со стороной е = 1/3ⁿ. Таким образом, фрактальная размерность (емкость) ковра Серпинского

(1.7)

т.е. 1 < d_c < 2. Это означает, что данное множество по топологическим свойствам находится как бы между отрезком и квадратом.

Найдем теперь фрактальную размерность кривых Коха. Для кривой на рис. 1.5 находим: вначале требуется N = 1 шар диаметром = 1; после первого шага требуется N = 4 шара диаметром после n-го шага нужно N = 4ⁿ шаров диаметром =1/3ⁿ и т.д. Отсюда емкость данной фигуры

(1.8)

Отметим одно существенное обстоятельство. Для всех фигур Коха d_c > 1. Согласно (1.5) длина фигуры

(1.9)

т.е. L при 0: кривые Коха имеют бесконечную длину.

Приведенные примеры позволяют сформулировать простое правило нахождения d_c для множеств, которые строятся по какому-либо регулярному алгоритму: нужно установить, во сколько раз возрастает число структурных элементов и во сколько раз уменьшается их линейный размер после одного шага построения. Отношение логарифмов этих величин и дает фрактальную размерность рассматриваемого множества. Пользуясь этим правилом, найдем, например, что для универсальной кривой Менгера (рис. 1.11 д) .

Для всех объектов, которые мы называли фрактальными множествами, фрактальная размерность d_c превышает размерность топологическую . Именно этот признак наиболее ярко отличает фракталы от обычных геометрических объектов, имеющих d_c = . Поэтому (в соответствии с принятой практикой) фрактальными множествами называют такие объекты, для которых d_c > .

Наряду с емкостью d_c часто рассматривают иные размерности. Мы дадим определение одной из них, называемой размерностью Хаусдорфа-Безиковича. Пусть задано множество S в р-мерном пространстве. Рассмотрим покрытие этого множества шарами с диаметрами . В отличие от определения d_c здесь покрытие осуществляется шарами, вообще говоря, неодинаковых диаметров. Образуем сумму

, (1.10)

где N( ) – число используемых шаров. Обозначим l( ) = inf , где точная нижняя грань берется по всем возможным покрытиям, для которых . Далее ищется предел . Этот предел называется хаусдорфовой d - мерой множества S. Существует значение d, обозначаемое , такое что при d > и при d < . Число называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича. Индекс "H" указывает на фамилию Хаусдорфа (Hausdorf) [1].

Нетрудно показать, что если бы в приведенном определении мы ис­пользовали покрытие шарами одного диаметра, то пришли бы к значению d = d_c. В связи же с тем, что при вычислении используется минимизация по всем покрытиям, (т.е. по множеству покрытий, более широкому, чем использованное при нахождении d_c), находим:

(1.11)

Здесь также учтено (левое неравенство), что фрактальная размерность всегда оказывается не меньшей, чем топологическая.