1.5. Модели фрактальных кластеров
В последнее время интенсивно изучаются свойства фрактальных кластеров, образующихся в результате слипания твердых частиц, например, атомов или молекул. Компьютерные модели, использующие определенные алгоритмы для описания движения и слипания твердых частиц в процессе роста фрактального кластера, позволяют сконструировать фрактальный кластер и проанализировать его свойства и характер роста. Последний зависит от физических условий роста. В некоторых случаях процесс роста кластера происходит в результате присоединения к нему отдельных частиц, в других случаях на первой стадии процесса имеется много частиц, которые объединяются в малые кластеры, а те в свою очередь в большие кластеры. Так в конечном счете собирается фрактальный кластер.
Важную роль в исследовании фрактальных структур сыграла модель ограниченной диффузией агрегации (ОДА) частиц (Diffusion Limited Aggregation), предложенной Виттеном и Сандером в 1981 г. [5]. В этой модели предполагается, что частицы, совершающие броуновское движение в пространстве, соприкасаясь с кластером, с определенной вероятностью прилипают к нему. Таким образом осуществляется рост кластера. Эта модель позволяет описать эволюцию кластера и проследить за деталями его роста.
В двумерной двумерное пространство разбивается на множество квадратных ячеек и в одну из них помещается частица. Каждая новая частица передвигается в соседнюю клетку случайным образом – ее путь выбирается методом Монте-Карло. Если частица достигла границы пространства, то она отражается от нее. Движение частицы продолжается до тех пор, пока она не окажется по соседству с одной из частиц кластера. Тогда она закрепляется в данной ячейке и в пространство инжектируется следующая частица. Таким образом «выращивается» фрактальный кластер (рис. 1.13). С появлением модели Виттена-Сандера началось интенсивное изучение таких структур, которое в течение десятилетия позволило создать четкое представление об этих системах.
Алгоритм модели ОДА может быть изменен. Можно рассматривать каждую частицу как диск в двумерном пространстве или шар в трехмерном пространстве, задав траекторию движения частицы в виде ломаной линии. Столкновение частицы с частицей кластера с определенной вероятностью приводит к их склеиванию. Тогда пробная закрепляется на кластере в соответствующем положении и в пространство запускается следующая частица. Этот вариант модели ОДА называется нерешеточной моделью.
Помимо моделей ОДА, рассматривающих взаимодействие «частица-кластер» существуют модели, рассматривающие взаимодействие между различными кластерами. В этом случае на начальной стадии в
Рис. 1.13. Фрактальный кластер Виттена-Сандера [5]
рассматриваемой области пространства находятся частицы, которые, двигаясь по определенным траекториям, сталкиваются друг с другом и слипаются в кластеры.
На первой стадии процесса роста образуется большое число кластеров малых размеров, которые далее объединяются в кластеры больших размеров. Со временем число кластеров в пространстве будет падать, а размеры их расти за счет «поглощения» мелких кластеров, что соответствует, например, таким явлениям как корсенинг (coarsening) или стадии коагуляции при фазовых переходах первого рода. Можно изменить фрактальную структуру кластера меняя в модели вероятность прилипания частиц. При уменьшении вероятности прилипания при кластер-кластерной агрегации кластеры глубже проникают друг в друга и в результате образуется более компактный кластер.
Моделирование процесса образования фрактального кластера в компьютерном эксперименте позволяет выяснить влияние различных факторов на его структуру, что в свою очередь позволяет получить достаточно полное представление о возможных структурах в реальной ситуации.
Фрактальные кластеры как геометрические системы, образуемые при ассоциации твердых частиц, реализуются при ассоциации аэрозолей в газах, например, при релаксации металлического пара и осаждении его на поверхности, образовании облаков и туманов, коагуляции аэрозолей в дыме, а также при образовании кластеров из частиц, находящихся в суспензиях и коллоидных растворах.