Введение

Развитие современной техники требуют опережающего развития физического и химического материаловедения. В условиях, когда временной разрыв между конструкторской идеей и ее воплощением должен быть минимальным, основной задачей науки о материалах становится создание материалов с заданными свойствами.

Сравнительно новой методологической основой для этого являются синергетические принципы, в соответствие с которыми наиболее эффективное управление свойствами материалов и их оптимизация возможны только в условиях самоорганизации структур. Исследования последних двух десятилетий показали, что самоорганизующиеся структуры обладают свойством мультифрактальности, т.е. могут быть описаны с помощью спектра фрактальной размерности.

Использование представлений синергетики и фрактальной геометрии для описания морфогенеза сложных структур позволяет поднять на новую ступень моделирование физико-химических процессов при получении новых материалов, ввести в рассмотрение степень неравновесности системы и описать эволюцию процессов самоорганизации фрактальных структур. Движущей силой самоорганизации является стремление открытых систем при нестационарных процессах к снижению производства энтропии.

Спонтанные образования диссипативных структур возможно только в неравновесных нелинейных и открытых системах, обменивающихся энергией и веществом с окружающей средой. Это явление привлекает внимание специалистов различных научных направлений – физиков, химиков, биологов и т.д. Технологов и материаловедов явление самоорганизации интересует, прежде всего, с точки зрения открывающейся возможности получения новых материалов с использованием нетрадиционных технологий, а теория фракталов – как математическая основа для количественного описания диссипативных структур, определяющих конечные свойства продукта. Это дает принципиальную возможность установления связи между составом, фрактальной структурой и свойствами материала, что в свою очередь ставит актуальной проблему развития фрактального материаловедения, основанного на использовании явления спонтанного образования диссипативных структур для получения материалов с заданными свойствами.

В книге рассмотрены наиболее важные физико-химические процессы неравновесного роста, приводящие к формированию сложных пространственно-временных фрактальных структур. Проанализированы морфологические переходы между фрактальными и евклидовыми формами неравновесного роста. Представлены и проанализированы оригинальные результаты, полученные авторами в рамках реализации аналитической ведомственной программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (2009-2010 годы)», рег. номер проекта 2.1.1/2747. Учебное пособие предназначено для магистрантов, обучающихся по магистерской образовательной программе «Физика конденсированного состояния» в рамках направления подготовки 011200 «Физика».

Глава 1. Геометрические и физические

  модели  фракталов

Традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, в том числе в материаловедении, основаны на приближенной аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами евклидовой формы, например, отрезками, многоугольниками, многогранниками, сферами, эллипсоидами и т.д., размерность которых может принимать целочисленные значения: 0 (точка как нульмерный геометрический объект), 1 (линия), 2 (плоские фигуры) и 3 (многогранники, эллипсоиды и т.д.).

Внутренняя структура исследуемых объектов, как правило, игнорируется, а процессы образования структур и их взаимодействия между собой и с окружающей средой характеризуется интегральными термодинамическими параметрами. Во многих случаях это может привести к утрате значительной части информации о свойствах и поведении исследуемых систем. В частности, при изучении эволюции сложных динамических систем необходимо учитывать особенности топологии тонкой структуры объектов и фазовых траекторий систем. Фрактальная, т.е. дробная метрическая размерность таких объектов не только характеризует их геометрический образ, но и отражает процессы их образования и эволюции, также определяет динамические свойства.

Появление фракталов (еще не получивших этого имени) в математической литературе около ста лет назад было встречено с неприязнью, как это было в истории развития многих других математических идей. Один известный математик, Шарль Эрмит, даже окрестил их монстрами. По крайней мере, общее мнение признало их патологией, представляющей интерес только для исследователей, злоупотребляющих математическими причудами, а не для настоящих ученых.

В результате усилий Бенуа Мандельброта такое отношение изменилось, и фрактальная геометрия стала признанной прикладной наукой. Мандельброт ввел в употребление термин фрактал, основываясь на теории фрактальной (дробной) размерности Хаусдорфа [1], предложенной в 1919 году. За много лет до появления его первой книги по фрактальной геометрии, Мандельброт приступил к исследованию появления «монстров» и других «патологий» в природе. Он отыскал нишу для имевших дурную репутацию множеств Кантора, кривых Пеано, функций Вейерштрасса и их многочисленных разновидностей, которые считались нонсенсом. Он и его ученики открыли много новых фракталов, например, фрактальное броуновское движение для моделирования лесного и горного ландшавтов, флуктуаций уровня рек и биения сердца. С выходом в свет его книги [1] приложения фрактальной геометрии стали появляться как грибы после дождя.

Различные древовидные фракталы применялись не только для моделирования деревьев-растений, но и бронхиального дерева (воздухоносные ветви легких), работы почек, кровеносной системы и др. Интересно отметить предположение Леонардо да Винчи о том, что все ветки дерева на данной высоте, сложенные вместе, равны по толщине стволу (ниже их уровня). Отсюда следует фрактальная модель для кроны дерева в виде поверхности фрактала.

В последнее время фракталы приобрели популярность в связи с тем, что это чисто математическое понятие получило самые разнообразные применения в физике, химии, астрофизике, гидродинамике и т.д. [1-10].

В соответствие с оригинальным определением фрактала, данного Мандельбротом [1] фрактал представляет масштабно-инвариантное множество, размерность которого отличается от топологической. Слово «фрактал» имеет двоякий перевод. В переводе с греческого оно означает часть целого, а с английского фрактал (fractal) переводится прилагательным «дробный». Рассмотрим наиболее известные наглядные геометрические модели простейших фрактальных множеств.