3.2. Статистика высоты волн и закон Херста

Мониторинг поверхности моря и измерение высоты волн, их периода и других параметров проводится во многих морях по всему миру. Высота волн обычно измерялась с помощью поплавков и определялась как разность самого высокого и самого низкого уровней воды, который представляет собой текущий средний уровень воды.

Такие исследования очень важны для мореходов, так как большая часть человеческих потерь и кораблей связана с крупными штормовыми волнами. Поэтому особенно интересны с практической точки зрения предсказания «девятого вала», т.е. волны катастрофической высоты. Этому вопросу посвящено множество исследований [29]. Такие предсказания должны основываться на понимании статистики высоты волн, а она может быть фрактальной.

Херст [31] проанализировал данные о высоте волн, рассматривая временную зависимость высоты волн h(t) как фрактальную кривую, подобную графику фрактального броуновского движения, и установил, что размах высоты волн при запаздывании τ является случайной функцией, которая подчиняется закону подобия

~ , (3.5)

где − размах фрактального временного ряда h(t) на временном отрезке τ, а H – показатель Херста. Для временной статистики волн показатель Херста [30]. Формула (3.5) выражает так называемый закон Херста.

Отметим, что для гауссова процесса H=1/2. Весьма высокие значения показателя Херста для высоты волн указывает на то, что статистика высота волн сильно отклоняется от гауссовой, что говорит о наличии корреляций во временном ряде h(t) (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Отношение R/S как функция запаздывания для случайного процесса, в котором высота харак­терной волны в Тромсёфлакет рассматривается как аналог случайного процесса. Линией по­казана аппроксимация данных законом Херста при Н =0.87 0.01 [30].

Результаты по фрактальной статистики морских волн следует учитывать при предсказании высоты самой высокой волны на основе наблюдений высоты волнения. Однако фрактальная статистика, которая была бы применима для этих предсказаний до сих пор не построена. Все многообразие статистических следствий фрактальной природы высот волн еще предстоит раскрыть и использовать.

3.3. Самоорганизующаяся критичность и фликкер-шум

Понятие СОК. Бак, Танг и Вейсенфельд (1987) выдвинули гипотезу о том, что системы, состоящие из большого числа взаимодействующих составляющих, могут демонстрировать некоторое универсальное поведение [32], состоящее в том, что в некоторых внешних условиях динамические системы спонтанно самоорганизуются в состояние с почти монофрактальной структурой, характеризуемой очень узким спектром фрактальной размерности. Эти системы сложны в том смысле, что не существует единственного характеристического размера события: отсутствует единая шкала времени и единая шкала размеров, которая контролирует временную эволюцию этих систем.

Несмотря на то, что динамический отклик этих систем сложный, статистические свойства описываются простыми степенными законами. Наиболее существенное утверждение работы [32] состоит в том, что фрактальная структура может развиваться без управления системы извне. Авторы [32] назвали такое поведение сложных систем как самоорганизующаяся критичность (СОК).

Явления в самых разных областях науки демонстрируют поведение СОК [32-43]. Они начинались с куч песка, землетрясений и лесных пожаров. Последующие примеры: электрический пробой, движение силовых линий магнитного поля в сверхпроводниках, капель воды на поверхности, динамика магнитных доменов, растущих фазовых границ. Идея СОК недавно предложена для использования в экономике, а модели СОК как пути понимания биологической эволюции.

Термин «СОК» состоит из двух частей. «Самоорганизация» много лет используется для описания способности определенных неравновесных систем развивать структуры в отсутствие контроля или манипуляции внешним фактором. Например, рост структур при химических реакциях, развитие структур в биологических системах. Можно выделить четыре основных вида самоорганизации нелинейных систем. К первому виду относится самоорганизация при фазовых переходах.

Действительно, для фазовых переходов характерна пространственно-временная масштабная инвариантность, однако переход происходит в критической точке, когда внешний параметр (например, температура) достигает своего критического значения. Аналогично происходит и саоморганизация при геометрических фазовых переходах (перколяционных), когда достигается критическое значение вероятности заполне­ния ячейки (порог перколяции).

Самоорганизация третьего вида (диссипативные структуры) происходит в точ­ке бифуркации, т. е. опять некоторый внешний параметр (градиент температуры в классической задаче Бенара) достигает критического значения. Для СОК же не требуется никакой специальной „подстройки параметра". Слово «критичность» имеет точное значение в равновесной термодинамике. Оно используется в связи с фазовыми переходами.

При температурах отличных от температуры равновесия фаз действие возмущения будет влиять только на локальное окружение. Однако при температуре превращения локальная дисторсия будет распространятся через всю систему. Несмотря на то, что непосредственно взаимодействуют только ближайшие «соседи» это взаимодействие эффективно простирается через всю систему. Система становится критической в том смысле, что все элементы системы влияют друг на друга.

Критическое поведение термодинамических систем хорошо известно. Состояние при критической температуре может быть рассмотрено математически детально на основе формализма, описывающего термодинамическую свободную энергию системы путем использования теории Вильсона ренормализованной группы.

Возможность такого математического описания состоит в каноническом ансамбле Гиббса. Для статистических рассмотрений необходимо правильно определить вероятность различных возможных состояний системы. Эта вероятность дается фактором Больцмана . Однако, мы не знаем эквивалентный формализм, который определяет вероятность, с которой данные конфигурации системы будут происходить в ходе эволюции динамического уравнения, управляющего этой системой. Следовательно, мы в принципе не способны рассчитать статистические свойства, такие как корреляционные функции динамических систем.

Несмотря на отсутствие математической основы статистического описания динамических систем, Бак и др. [32] предполагают, что большая группа систем ведут себя в манере, чрезвычайно похожей на поведение термодинамических систем при температуре фазового превращения. Кроме того, динамические системы самопроизвольно стремятся в состояния, характеризуемые алгебраическими корреляциями в отличие от систем в состоянии термодинамического равновесия, для которых существенно необходимо управляющая регулировка извне.

Какого рода системы будут эволюционировать в динамическое состояние СОК? Во-первых, требуется разделение временных масштабов. Во-вторых, процесс, связанный с внешним управлением системы должен происходить значительно медленнее, чем внутренние релаксационные процессы. Типичным примером является землетрясение. Напряжения в земной коре накапливаются в течение нескольких лет вследствие перемещений тектонических плит. Эти напряжения внезапно релаксируют в течение нескольких секунд или минут в ходе землетрясения.

В качестве наглядной иллюстрации СОК часто используется метафора с кучей песка. Рассматривается песчаная куча, на которую медленно насыпают зерна песка. Пока куча остается достаточно пологой, происходит лишь увеличение крутизны ее скло­на за счет скатывания кластеров песчаных зерен вниз. Если разница высот соседних плато z_n превышает критическую величину, система становится неустойчивой, и образуется лавина.

Процесс продолжается до тех пор, пока все величины z_n не станут равными критическим значениям. Когда крутизна склона достигает критическо­го значения, картина качественно меняется. Количество скатывающегося вниз песка (лавины) может быть самым разнообразным, т. е. система становится масштабно инвариантной.

Наклон, достигший критического значения, далее не меняется и сохраняет это критическое значение. Распределение лавин по масштабам и спектр плотности мощности системы становятся степенными, т.е. система обладает масштабной инвариантностью как в пространстве, так и во времени. Модель с кучей песка чисто метафорична, реальная динамика таких систем может быть весьма разнообразной.

Разделение временных масштабов непосредственно связано с существованием порогов и метастабильности. Существование порогов обеспечивает разделение на временные шкалы. В качестве примера рассмотрим динамику сухого трения, скажем пианино, которое необходимо передвинуть по полу. При медленном увеличении силы, приложенной к пианино постепенно увеличиваются касательные напряжения между полом и дном пианино.

В некоторый момент силы трения между полом и пианино не способны больше противодействовать приложенной силе. Пианино быстро «прыгает» вперед, и напряжения в поверхности контакта «пианино-пол» релаксируют. Приложенная сила падает, пианино вновь останавливается, и цикл повторяется снова. Приложенную силу необходимо увеличивать для того, чтобы превысить определенный порог. В медленной фазе роста напряжения энергия запасается. Эта энергия затем релаксирует или диссипирует почти мгновенно в тот момент, когда пианино начнет движение вперед. Если нет порога движению, например, если пианино находится на льду, то оно будет двигаться непрерывно и энергия будет диссипировать с той же скоростью, с которой поступает в систему.

Реальная сила трения, которую пианино должно преодолеть в данный момент будет зависеть от микроскопических деталей, соединяющих шероховатое дно пианино с шероховатой поверхностью пола. Это означает, что существует множество различных состояний, в которых пианино будет оставаться неподвижным даже в присутствии приложенной силы. Все эти состояния метастабильны. Силы трения включает деформацию пола и пианино, и эта деформация соответствует определенному количеству запасенной упругой энергии. Таким образом, несмотря на то, что система «пианино-пол» остается в стабильном (т.е. время - независимом) состоянии, система не находится в состоянии с минимальной энергии. Она находится в одном из множества метастабильных состояний.

Среди всех метастабильных состояний некоторые особенно важны: совокупность конфигураций, в которых может находится пианино, так как пианино совершает прерывистое движение. Эти состояния маргинально устойчивы. Медленное увеличение силы может вызвать скачки пианино различной амплитуды, от очень мелких, до гигантских скачков, соизмеримых с размером пианино.

Бак и др. [32] впервые рассмотрели маргинально устойчивые состояния как состояния, характеризуемые потерей выделенного временного или линейного масштаба. Это в точности соответствует случаю конфигураций термодинамической системы при критической температуре. Отсутствие характерного масштаба приводит к алгебраическим корреляционным функциям. Отметим здесь, что степенной закон имеет свойство, что относительное изменение независит от . В этом смысле степенные законы устраняют характерный масштаб системы.

Как и ожидалось, функция распределения, описывающая частоту, с которой происходят различные события в состоянии СОК, демонстрирует степенную зависимость. Закон Гутенберга – Рихтера для распределения энергии, высвобожденной при землетрясении – степенной закон [43]. Если есть энергия, высвобождаемая при землетрясении, то вероятность землетрясения с этой энергией дается выражением . Этот вид распределений появляется и в моделях СОК. Например, в игровых моделях с кучами песка распределений времен жизни лавин и распределение размеров лавин следуют поведению степенного закона.

Почему пространственные фракталы и фрактальные временные ряды, известные как флуктуации , (фликкер-шум) так распространены в природе? Свойства фракталов изучались интенсивно последние два столетия. Несмотря на эти исследования мало известно, почему фракталы формируются.

Какие аспекты эволюции или динамики макроскопических систем ответственны за формирование фракталов? Многие материалы формируют кристаллические структуры. Мы знаем, почему это происходит: принцип наименьшей энергии отбирает упорядоченную кристаллическую фазу. Фракталы определенно не соответствуют конфигурации наименьшей энергии, которая может отбираться в термодинамическом равновесии, следовательно должен существовать другой принцип динамического отбора.

Каким образом Сок объясняет фликкер шум шум и фракталы? Рассуждения, проведенные в работе Бака [32] состоят в следующем. Сигнал способен эволюционировать через систему настолько, насколько способен найти путь, связывающий области, в которых превышен порог. Если эволюция системы начинается из случайного начального состояния, то регионы, которые способны передать сигнал (процесс переноса), будут формировать некоторую случайную сеть. Эта сеть будет видоизменяться или коррелироваться за счет действия внутренней динамики, индуцированной внешним управлением.

Медленное внешнее управление будет случайно создавать некоторую медленную область, в которой превышен порог, что приведет к запуску внутренней релаксации одного процесса. В результате возникает запутанная, тонко переплетенная сеть динамических каналов, которая по существу является кластером. Важно отметить, что структура этой динамической сетки имеет фрактальную геометрию [1, 2]. Если активный канал состоит из фракталов разного размера, то продолжительность индуцированных релаксационных процессов, проходящих через эти фракталы, может также, как ожидается, значительно варьироваться. Хорошо известно, что множество активных временных масштабов при определенных условиях приводит к шуму . Авторы [32] предположили, что то же самое происходит и в системах с СОК.

Где может быть обнаружена СОК? Первоначально СОК предполагалась как типичное поведение систем взаимодействующих многих тел. Распространенность фрактальных структур, временных и пространственных, представляется как эффект глобальной тенденции, относящейся к большому числу систем многих тел – самопроизвольное развитие в критическое масштабно-инвариантное состояние. Поведения СОК ожидается в медленно управляемых лимитированных пороговым взаимодействием системах. Если система демонстрирует степенные законы без управления извне, то она демонстрирует СОК; СОК – скорее феноменологическое определение, чем конструктивное.

Понятие «лимитированная пороговым взаимодействием система» («interaction-dominated threshold system») включает в себя две особенности таких систем: поведение СОК возникает потому, что большое число степеней свободы оказываются взаимодействующими; динамика системы должна определяться скорее взаимодействием между всеми степенями свободы, чем внутренней динамикой индивидуальных степеней свободы.

Для примера рассмотрим различие между поведением кучи песка и кучи риса. Куча песка эволюционирует в периодическое во времени состояние, в то время как куча риса (по крайней мере, некоторые типы зерен риса) имеет широкое распределение размеров лавин. В куче песка движение отдельного зерна, падающего в гравитационном поле, легко стопорится интегральными силами трения. В обеих системах зерна могут быть организованы (выстроены) в гигантское число различных статических конфигураций. Эти метастабильные состояния существуют как следствие конечного порога, производимого интегральным трением. Однако в куче песка кинетическая энергия падающих зерен легко доминирует над силами трения. В куче риса трение значительно сильнее и эффект обвала кучи риса является результатом движение между различными метастабильными статическими конфигурациями.

Одним из условий проявления порогового эффекта является наличие большого числа статических метастабильных конфигураций. Понятие «локальная жесткость» вводится в [44] для описания локального стабилизирующего действия порога. Другой эффект порога связан с вопросом, каким образом достигается критичность. Из модели Бака и др. [32] следует, что порог существенно необходим для перехода самоорганизации к критичности.

Анализ моделей кучи песка обнаруживает притягивающую фиксированную точку. Это означает, что длиннодействующее поведение (т.е. с большим временем и радиусом корреляции) в этих моделях демонстрирует масштабную инвариантность без какого-либо тонкого параметрического управления извне. С другой стороны, фиксированная точка модели лесных пожаров обнаружена как отталкивающая. Это означает, что эта модель характеризуется выделенным масштабом. Динамическая эволюция этой модели сама по себе не приведет модель к критической точке. Конечно, модели лесных пожаров и кучи песка также отличаются в других отношениях помимо порога. Тем не менее можно утверждать, что существование локальных порогов необходимое, но недостаточное условие для самоорганизации к критичности.

Можно ожидать, что системы являются лимитированными взаимодействием только в пределе медленного постепенного управления извне. Резкое включение внешней силы не позволит системе релаксировать из одной метастабильной конфигурации к другой. Постепенное медленное увеличение внешней силы необходимо для того, чтобы внутренние свойства системы контролировали ее динамику. Если мы тащим систему пружин и блоков с большой скоростью по поверхности, то у пружин не будет времени для релаксации к неравновесным конфигурациям; поведение системы будет полностью определяться внешней приложенной силой.

Постепенное медленное увеличение внешней силы необходимо в двух аспектах: во-первых, в смысле, подобному обычно слабому управлению, встречающемуся в линейной теории возмущения. Во-вторых, медленное и поэтому слабое управление необходимо для сохранения эффекта порога.

Самоорганизующаяся критичность была впервые введена для объяснения шума . Термин шум используется для обозначения природы некоторого типа временных корреляций. Предположим, что мы измеряем время-зависимый сигнал . Причинно-следственная связь в сигнале характеризуется временной корреляционной функцией

(3.6)

Если отсутствует статистическая корреляция между сигналом при и при , то . Скорость, с которой уменьшается от средней мгновенной флуктуации до нуля есть мера продолжительности корреляций или эффектов памяти в сигнале. Корреляционная функция связана со спектром мощности сигнала. Спектр мощности определяется в терминах квадрата амплитуды коэффициентов разложения сигнала в ряд Фурье

. (3.7)

Корреляционная функция стационарного процесса связана со спектром мощности через превращение косинуса:

. (3.8)

Временные корреляции поэтому зачастую обсуждаются в терминах спектра мощности.

Предположим, что и, что . Подставляя в (3.8), получим . Таким образом, когда близка к единице, показатель степени должен быть близок к нулю. При принятая форма разрушается и заменяется на медленный логарифмический спад. Это означает, что спектр мощности в форме соответствует экстремально большому времени корреляции, когда . В этом смысле флуктуации представляют значительный интерес.

Рассмотрим лавины в оригинальной модели с кучей песка [44]. Представим медленное насыпание песка в кучу в произвольной позиции. Это приведет к лавинной активности на склоне кучи. Если куча достаточно большая, то будет иметь место существенная интерференция между индивидуальными лавинами. Тогда интегральная активность кучи может быть статистически описана рассмотрением случайной линейной суперпозиции индивидуальных лавинных сигналов. Спектр мощности интегральной активности кучи затем вычисляется как весовая сумма спектров мощности индивидуальных лавин.

В теории равновесных критических явлений пространственная корреляционная функция играет фундаментальную роль. Пусть система описывается полем n(r, t), например, плотности частиц или локальной намагниченности и т. д. Корреляционная функция определяется как

. (3.9)

При удалении от критической температуры корреляции экспоненциально падают , где − корреляционная длина. Корреляционная длина расходится как , когда температура Т приближается к критическому значению . При корреляционная функция изменяет свое функциональное поведение от экспоненциальной к алгебраической зависимости от r: . Расхождение рассматривается как признак потери масштаба при .

Таким же образом, очевидно, можно описать динамическое критическое состояние СОК путем исследования пространственных корреляционных функций. Исходное предположение состоит в том, что потеря характерного масштаба в функции распределения эквивалентна потери масштаба и в корреляционной функции. Однако это неверно.

Модель случайных соседей предусматривает, что на каждом временном шаге возникает новое соседство. Повторные изменения в соседстве делают бессмысленным говорить о пространственной структуре модели. В этой модели уничтожается эффект пространственных корреляций. Несмотря на то, что пространственные корреляции разрушены, в некоторых случаях распределения событий следуют степенным законам. Их значение отличается от степенных законов в моделях с пространственной структурой.

Основные признаки СОК. Согласно Баку и др. [32] отличительным признаком СОК является потеря какого-либо выделенного масштаба во времени и в пространстве. Как следствие мы наблюдаем пространственные фракталы и временные флуктуации . Таким образом, стратегия экспериментального исследования СОК состоит в измерении временного отклика системы, т. е. некоторой время-зависимой величины системы. Если спектр мощности сигнала имеет вид , где , то можем ли мы утверждать, что имеем дело с СОК? Оказывается, что это не всегда так. Действительно, в большинстве случаев спектр мощности, обнаруженный в связи с исследованием СОК, простирается только на сравнительно узкий интервал частот.

Характеристические частоты могут быть и ниже наименьшей из измеренных частот. Даже если мы имеем дело с истинно критической системой, то не все наблюдаемые будут демонстрировать спектр . Например, предположим, что спектр мощности величины N(t) описывается законом . Следовательно, спектр производной по времени dN(t)/dt будет описываться законом . К тому же, измеренный спектр может сильно зависеть от того, как система управляется. И, наконец, необходимо установить существование степенных законов для временных, а также для пространственных величин прежде, чем утверждать, что система находится в критическом состоянии.

Несмотря на то, что спектр может быть индикатором критического поведения, он не гарантирует СОК. Существует множество путей, которые дают спектр без какого-либо основания или критического состояния. Идея понятия СОК состоит в том, что спектр и фракталы возникают как следствие отсутствия какого-либо характеристического масштаба. Следовательно, необходимо установить, что система демонстрирует пространственные фракталы в дополнение к спектру . Идентифицирование пространственных фракталов весьма трудная проблема. Вместо этого, многие эксперименты измеряют распределение размеров событий и продолжительность, и пространственную протяженность индуцированного отклика. Этот отклик зачастую имеет форму цепной реакции или глобальной лавины.