Глава 3. Фрактальные временные ряды и самоорганизующаяся критичность

3.1. Броуновское движение

Важным примером процесса с фрактальной пространственно-временной структурой является броуновское движение. В 1827 г. Р. Броун обнаружил непрерывное беспорядоченное движение частиц, взвешенных в жидкости, а в 1905 г. А. Эйнштейн объяснил это движение хаотическими столкновениями с молекулами окружающей среды. Первая математическая теория броуновского движения принадлежит Н. Винеру (1923 г.).

Простой дискретной аппроксимацией броуновского движения служит одномерное случайное блуждание. В этом случае частица изначально, в момент времени находится в точке на прямой. Далее частица совершает единичный шаг вправо или влево в зависимости от случайного выбора, например, бросания монеты. Случайное блуждание происходит итеративно, так что , где n=1, 2, 3, ... Более точным приближением к реальному броуновскому движению является замена шагов ±1 случайными величинами g_n, имеющими гауссовское или нормальное распределение, так что положение частицы будет определяться соотношением . На рис. 3.1 изображена типичная реализация гауссовского случайного блуждания.

В более строгом определении гауссовский процесс x(t) называют одномерным броуновским движением или винеровским процессом на интервале [a, b] если он обладает следующими свойствами: 1) x(0)=0 и функция x(t) всегда непрерывна; 2) свойство гауссовости приращений: случайная величина ,

имеет гауссовское распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией

, где

– положительная константа, т.е.

Рис. 3.1. График гауссовского случайного блуждания частицы

. (3.1)

Согласно теории винеровского процесса математическое ожидание приращения

на временном интервале пропорционально X

: . Это выражение может быть использовано для вычисления фрактальной размерности временного ряда x(t). Предположим, что интервал определения равен [0,1]. Разделим этот интервал на n подинтервалов одинаковой длины и таким же образом разделим вертикальную ось на подинтервалы длины

. Выражение

служит в качестве оценки числа квадратов, необходимых для покрытия части графика y=x(t), расположенной над одним подинтервалом. Так как математическое ожидание величины

пропорционально X

, то число квадратов, необходимых на одном подинтервале пропорционален . Всего имеется

таких подинтервалов и поэтому общее число квадратов пропорционально

и для фрактальной размерности винеровского процесса получим

. (3.2)

Винеровский процесс обладает также свойством статистического самоподобия, которое состоит в инвариантности приращения реализации одномерного броуновского движения, относительно следующего преобразования координаты и времени:

. (3.3)

Свойство статистического самоподобия означает, что винеровский процесс преобразуется сам в себя при одновременном изменении масштаба времени в b раз и пространственного масштаба в раз.

Мандельброт впервые указал на широкий класс гауссовых процессов, обладающих фрактальными свойствами. Они имеют следующую зависимость дисперсий приращений про­цесса от интервала времени:

, (3.4)

где Н 1/2 и лежит в интервале 0 < Н < 1. Задолго до появления фракталов процессы, обладающие свойством (3.4), обнаружил Херст при изучении годовых вариаций стоков рек. Он установил, что для различных рек показатель Н одинаков и равен 0.73. Показатель Н принято называть показателем Херста. Гауссовы процессы с дисперсией приращений (3.4) называют процессами обобщенного броуновского движения.