3.1.Многоугольники и многогранники

Многогранником в п-мерном пространстве называют замкнутое, выпуклое, ограниченное множество точек п-мерного пространства с конечным числом угловых точек (вершин). В случае двух переменных многогранник превращается в многоугольник.

Пусть А(х₁^А,х₂^А), В(х₁^В,х₂^В) .(рис.1)

М(х₁,х₂) – любая точка отрезка АВ.

Запишем параметрические уравнения

АВ:

Кратко эту систему запишем в виде

М = (1-t)A + tB, t

Рис.1

Обозначим ₁ = 1- t, ₂ = t , ₁ + ₂ = 1.

Точка М называется выпуклой линейной комбинацией точек М₁,М₂,...,М_к, если М = ∑_jM_j , j=1,…,k , _j 0 , ∑_j = 1.

Множество называется выпуклым, если оно содержит выпуклую линейную комбинацию любых своих точек.

Выпуклые множества невыпуклые множества

Рис.2

Точка называется граничной точкой множества, если любая сколь угодно малая ее окрестность содержит точки как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему.

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество называется ограниченным , если можно построить сферу с конечным радиусом и центром в любой точке множества, полностью содержащую это множество.

Угловой называется точка, которая не является выпуклой линейной комбинацией каких-либо различных точек этого множества. Множество может иметь одну угловую точку (рис.3а), две (рис. 3б), три (рис.3в), а также бесконечное множество угловых точек (рис.3г)

Рис.3а Рис.3б Рис.3в Рис.3г

Теорема 1. Любая точка многоугольника является выпуклой линейной комбинацией его угловых вершин.

Теорема 2. Область допустимых решений ЗЛП является выпуклым множеством.

3.2. Экстремум целевой функции

Теорема 3(основная теорема линейного программирования) Целевая функция ЗЛП достигает экстремума в угловой точке области допустимых решений. Причем, если целевая функция достигает экстремума в нескольких угловых точках области допустимых решений, то она также достигает экстремума в любой выпуклой комбинации этих точек.

3.3.Опорное решение злп, его взаимосвязь с угловыми точками

Рассмотрим систему ограничений конкретной задачи

В векторной записи эта система имеет вид

А₁x₁ + A₂x₂+A₃x₃+A₄x₄ = A₀,

где

Векторы A₁, A₂, A₃, A₄ называются векторами условий. Данная система имеет бесконечное множество решений. Например, Х₁ =(4,8,1,1), Х₂ = (9,12,1,0), Х₃=(7,15,0,0). Решение Х₃ называется базисным (все свободные переменные равны 0). Для базисного решения Х₃ единичные векторы А₁, А₂ соответствующие положительным координатам, линейно независимы.

Как известно, любая система уравнений имеет конечное число базисных решений, равное С_n^r , где п-число неизвестных r- ранг системы векторов условий.

Базисные решения, координаты которых удовлетворяют условию неотрицательности, являются так называемыми опорными.

Опорным решением называется Х = (х₁₀,х₂₀,...,х_т0,0...0), для которого векторы условий, соответствующие положительным координатам А₁,А₂,...,А_т линейно независимы.

Число отличных от нуля координат опорного решения не может быть больше ранга r системы векторов условий (т.е. числа линейно независимых уравнений системы ограничений). Будем считать, что r=m. Если число отличных от нуля координат опорного решения равно т , то оно(решение) называется невырожденным, в противном случае вырожденным.

Базисом опорного решения называется базис системы векторов условий, в состав которого входят векторы, соответствующие отличным от нуля координатам опорного решения.

Теорема 1. Любое опорное решение является угловой точкой области допустимых решений.