1.3. Математическое моделирование в оптимизации

Для того чтобы использовать результаты и вычислительные процедуры на практике необходимо прежде всего сформулировать задачу на математическом языке, т.е. построить математическую модель объекта оптимизации. Математическая модель это более или менее полное описание исследуемого процесса или явления с помощью математических формул, символов. Процесс математического моделирования является сложной творческой задачей , требующей от исследователя глубоких знаний, практического опыта, интуиции. Несмотря на то, что общего результата построения математической модели оптимизации не существует, можно этот процесс условно разбить на ряд этапов.

1.3.1. Определение объекта оптимизации и его границ

Необходимость этого этапа диктуется невозможностью учета и исчерпывающего описания всех сторон большинства реальных систем. Выделив главные переменные, параметры и ограничения следует приближенно представить систему, как некоторую изолированную часть реального мира и упростить ее внутреннюю структуру.

1.3.2. Выбор управляемых переменных

На этом этапе необходимо провести различие между теми величинами, значениями которых можно варьировать и выбирать с целью достижения наилучшего результата (управляемыми переменными), и величинами, которые фиксированы или определяются внешними факторами. Определение тех значений управляемых переменных, которым соответствует наилучшая (оптимальная) ситуация, и представляет собой задачу оптимизации.

1.3.3. Определение ограничений на управляемые переменные

В реальных условиях на управляемые переменные , как правило, наложены ограничения, связанные с ограниченностью имеющихся ресурсов, мощностей и других возможностей. При построении математической модели эти ограничения обычно записывают в виде равенств или неравенств или указывают множества, которым должны принадлежать управляемые переменные, совокупность всех ограничений на управляемые переменные определяет допустимое множество задачи оптимизации.

1.3.4. Составление целевой функции и выбор числового критерия оптимизации

На этом этапе следует записать целевую функцию объекта оптимизации и выбрать числовой критерий, минимальному или максимальному значению которого соответствует наилучший вариант поведения исследуемого объекта. Величина этого критерия полностью определяется выбранными значениями управляемых переменных, т.е. он является функцией этих переменных и называется целевой функцией.

1.3.5. Формулировка математической задачи оптимизации

Объединяя результаты предыдущих этапов построения математической модели ее записывают в виде математической задачи оптимизации, включающей построенную целевую функцию, ограничения на управляемые переменные. Задачу оптимизацию формулируют:

- минимизировать (максимизировать) целевую функцию с учетом ограничений на управляемые переменные.

Под минимизацией (максимизацией) функции п переменных f (x)= f (x₁,x₂,..,x_n) на заданном множестве U п-мерного векторного пространства Е_п понимается определение хотя бы одной из точек минимума (максимума) этой функции на заданном множестве U , а так же , если это необходимо и минимального (максимального) значения функции f (x) на множестве U. Таким образом, символически записывают математическую модель задачи

f (x)min (max),

x U,

где f (x)- целевая функция, U – допустимое множество, заданное ограничениями на управляемые переменные.

1.3.6. Информационное обеспечение математической модели

Этот этап включает необходимую информацию о величинах, параметрах, переменных, входящих в математическую модель, Иногда, разрабатывая модель оптимизации, предполагают, что при ее использовании получение необходимой информации будет обеспечено, а оказывается, что это невозможно. Тогда приходится перестраивать исходную модель, например, так чтобы не поддающиеся количественному определению параметры в нее не входили.